Question

已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標系中的位置如圖1所示，四個頂點的坐標分別為O（0，0），A（10，0），B（8，2

3

），C（0，2

3

），點T在線段OA上（不與線段點重合），將紙片沿過T點的直線折疊，使點A落在射線AB上（記為點A'），折痕TP與射線AB交于點P，設(shè)點T的橫坐標為t，折疊后紙片重疊部分（圖2中的陰影部分）的面積為S；
（1）直接寫出∠OAB的度數(shù)；
（2）當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，直接寫出t的取值范圍；
（3）求S關(guān)于t的解析式及S的最大值．

Answer 1

分析：（1）求∠OAB的度數(shù)，我們可根據(jù)A、B的坐標來求，根據(jù)tan∠OAB=B的縱坐標的絕對值：A、B橫坐標的差的絕對值，可得出∠OAB的度數(shù)．
（2）當重疊部分是四邊形時，那么此時A′應(yīng)該在AB的延長線上，那么此時AA′的最小值應(yīng)該是AB的長即4，最大的值應(yīng)該是當P與B重合時AA′的值即8，由于三角形ATA′是個等邊三角形，那么AT的取值范圍就是4＜AT＜8，那么t的取值就應(yīng)是2＜t＜6；
（3）可分成三種情況進行討論：
①當A′在AB上時，即當6≤t＜10時，可根據(jù)（1）的函數(shù)來求出此時S的最大值；
②當A′在AB延長線上但P在AB上時，即當2＜t＜6時，此時重合部分的面積=三角形AA′T的面積-上面的小三角形的面積，根據(jù)AT和AB的長，我們可得出A′B的長，然后按（1）的方法即可得出上面的小三角形的面積，也就可以求出重合部分的面積；
③當A′在AB延長線上且P也在AB延長線上時，即當0＜t≤2時，重合部分的面積就是三角形EFT的面積（其中E是TA′與CB的交點，F(xiàn)是TA與CB的交點）那么關(guān)鍵是求出BF，BE的值，知道了AT的長，也就知道了AP，A′P的長，根據(jù)AB=4我們不難得出BP的長，有了BP的長就可以求出A′B，BE的長，在直角三角形BPE中，可根據(jù)∠PBF的度數(shù)，和BP的長，來表示出BF的長，這樣我們就能表示出EF的長了，又知道EF邊上的高是OC的長，因此可根據(jù)三角形的面積來求出S的值．
然后綜合三種情況判斷出是否有S的最大值．

解答：解：（1）∵A，B兩點的坐標分別是A（10，0）和B（8，2

3

），
∴tan∠OAB=

2 3

10-8

=

3

，
∴∠OAB=60°，

（2）當點A′在線段AB的延長線，且點P在線段AB（不與B重合）上時，
紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖①，其中E是TA′與CB的交點），
當點P與B重合時，AT=2AB=8，點T的坐標是（2，0），
又由（1）中求得當A?與B重合時，T的坐標是（6，0），
所以當紙片重疊部分的圖形是四邊形時，2＜t＜6；

（3）S存在最大值．
①當6≤t＜10時，S=面積S=S_△A′TP=

1

2

×A′P×TP=

1

2

×

3

2

（10-t）（10-t）=

3

8

（10-t）²，
在對稱軸t=10的左邊，S的值隨著t的增大而減小，
∴當t=6時，S的值最大是2

3

；
②當2＜t＜6時，由圖①，重疊部分的面積S=S_△A′TP-S_△A′EB，
∵△A′EB的高是A′B•sin60°，
∴S=

3

8

（10-t）²-

1

2

（10-t-4）²×

3

2

，
=

3

8

（-t²+4t+28），
=-

3

8

（t-2）²+4

3

，
當t=2時，S的值最大是4

3

；
③當0＜t≤2，即當點A′和點P都在線段AB的延長線時（如圖②，其中E是TA?與CB的交點，F(xiàn)是TP與CB的交點），
∵∠EFT=∠FTA=∠ETF，四邊形ETAB是等腰梯形，
∴EF=ET=AB=4，
∴S=

1

2

EF•OC=

1

2

×4×2

3

=4

3

．
綜上所述，S的最大值是4

3

，
此時t的值是0＜t≤2．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及代數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，問題是在解題中計算三角形面積時沒有除以2，或分類情況不全面，或?qū)τ谌≈捣秶�的處理不到位．特別是認為只存在一個t的值使得面積最大，導致失分較多．更多是缺乏對復(fù)雜問題的分析能力，導致不會做．