Question

如圖，已知直角梯形紙片OABC中，兩底邊OA=10，CB=8，垂直于底的腰OC=2

3

，點(diǎn)T在線段OA上（不與線段端點(diǎn)重合），將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上（記為點(diǎn)A′），折痕經(jīng)過點(diǎn)T，折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)OT=t，折疊后紙片重疊部分（圖中的陰影部分）的面積為S；
（1）求∠OAB的度數(shù)；
（2）求當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求t的取值范圍；
（4）S存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）求∠OAB的度數(shù)，我們可根據(jù)A、B的坐標(biāo)來求，根據(jù)tan∠OAB=B的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值：A、B橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值，可得出∠OAB的度數(shù)．得出的∠BAO是60°后，以及折疊得到的AT=A′T，那么三角形A′AT是等邊三角形，且三邊長(zhǎng)均為10-t．求面積就要有底邊和高，我們可以AA′為底邊，那么PT就是高，AA′=10-t，那么關(guān)鍵是PT的值，已知了∠BAT的度數(shù)，我們可以用AT的長(zhǎng)以及∠BAT的正弦函數(shù)表示出PT的長(zhǎng)，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式．此時(shí)AT即AA′的最大值為AB的長(zhǎng)，也就是4，因此AT的取值范圍是0＜AT≤4，那么t的取值范圍就是6≤t＜10；
（2）當(dāng)重疊部分是四邊形時(shí)，那么此時(shí)A′應(yīng)該在AB的延長(zhǎng)線上，那么此時(shí)AA′的最小值應(yīng)該是AB的長(zhǎng)即4，最大的值應(yīng)該是當(dāng)P與B重合時(shí)AA′的值即8，由于三角形ATA′是個(gè)等邊三角形，那么AT的取值范圍就是4＜AT＜8，那么t的取值就應(yīng)是2＜t＜6；
（3）可分成三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)A′在AB上時(shí)，即當(dāng)6≤t＜10時(shí)，可根據(jù)（1）的函數(shù)來求出此時(shí)S的最大值；
②當(dāng)A′在AB延長(zhǎng)線上但P在AB上時(shí)，即當(dāng)2≤t＜6時(shí)，此時(shí)重合部分的面積=三角形AA′T的面積-上面的小三角形的面積，根據(jù)AT和AB的長(zhǎng)，我們可得出A′B的長(zhǎng)，然后按（1）的方法即可得出上面的小三角形的面積，也就可以求出重合部分的面積；
③當(dāng)A′在AB延長(zhǎng)線上且P也在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，即當(dāng)0＜t＜2時(shí)，重合部分的面積就是三角形EFT的面積（其中E是TA′與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是TA與CB的交點(diǎn)）那么關(guān)鍵是求出BF，BE的值，知道了AT的長(zhǎng)，也就知道了AP，A′P的長(zhǎng)，根據(jù)AB=4我們不難得出BP的長(zhǎng)，有了BP的長(zhǎng)就可以求出A′B，BE的長(zhǎng)，在直角三角形BPE中，可根據(jù)∠PBF的度數(shù)，和BP的長(zhǎng)，來表示出BF的長(zhǎng)，這樣我們就能表示出EF的長(zhǎng)了，又知道EF邊上的高是OC的長(zhǎng)，因此可根據(jù)三角形的面積來求出S的值．
然后綜合三種情況判斷出是否有S的最大值．

解答：解：（1）∵兩底邊OA=10，CB=8，垂直于底的腰OC=2

3

，
∴tan∠OAB=

2 3

10-8

=

3

，
∴∠OAB=60°．

（2）當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，
∵∠OAB=60°，TA=TA′，
∴△A′TA是等邊三角形，且TP⊥TA′，
∴TP=（10-t）sin60°=

3

2

（10-t），A′P=AP=

1

2

AT=

1

2

（10-t），
∴S=S_△ATP=

1

2

A′P•TP=

3

8

（10-t）²，
當(dāng)A′與B重合時(shí)，AT=AB=4，
所以此時(shí)6≤t＜10；

（3）當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB的延長(zhǎng)線，且點(diǎn)P在線段AB（不與B重合）上時(shí)，
紙片重疊部分的圖形是四邊形（如圖①，其中E是TA′與CB的交點(diǎn)），

當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，AT=2AB=8，點(diǎn)T的坐標(biāo)是（2，0），
又由（1）中求得當(dāng)A?與B重合時(shí)，T的坐標(biāo)是（6，0），
所以當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，2＜t＜6；
（4）S存在最大值．
①當(dāng)6≤t＜10時(shí)，S=

3

8

（10-t）²，
在對(duì)稱軸t=10的左邊，S的值隨著t的增大而減小，
∴當(dāng)t=6時(shí)，S的值最大是2

3

；
②當(dāng)2≤t＜6時(shí)，由圖①、圖②，重疊部分的面積S=S_△A′TP-S_△A′EB，

∵△A′EB的高是A′B•sin60°，
∴S=

3

8

（10-t）²-

1

2

（10-t-4）²×

3

2

=

3

8

（-t²+4t+28）=-

3

8

（t-2）²+4

3

，
當(dāng)t=2時(shí)，S的值最大是4

3

；
③當(dāng)0＜t＜2，即當(dāng)點(diǎn)A′和點(diǎn)P都在線段AB的延長(zhǎng)線是（如圖②，其中E是TA?與CB的交點(diǎn)，F(xiàn)是TP與CB的交點(diǎn)），
∵∠EFT=∠FTP=∠ETF，四邊形ETAB是等腰梯形，
∴EF=ET=AB=4，
∴S=

1

2

EF•OC=

1

2

×4×2

3

=4

3

．
綜上所述，S的最大值是4

3

，此時(shí)t的值是0＜t≤2．

點(diǎn)評(píng)：這是試卷的壓軸題，考查知識(shí)點(diǎn)較多，是代數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，其中有分類思想的滲透．
主要問題是在解題中計(jì)算三角形面積時(shí)沒有除以2，或分類情況不全面，或?qū)τ谌≈捣秶�的處理不到位．特別是認(rèn)為只存在一個(gè)t的值使得面積最大，導(dǎo)致失分較多．更多是缺乏對(duì)復(fù)雜問題的分析能力，導(dǎo)致不會(huì)做．