Question

【題目】如圖，直線y＝2x與直線x＝2相交于點(diǎn)A，將拋物線y＝x2沿線段OA從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，使其頂點(diǎn)始終在線段OA上，拋物線與直線x＝2相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（　　）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)點(diǎn)M在y＝2x上可得相應(yīng)坐標(biāo)，即可用頂點(diǎn)式表示出相應(yīng)的二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．

解：∵設(shè)拋物線的頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段OA上移動(dòng)，

∴y＝2m（0≤m≤2）．

∴當(dāng)拋物線運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m），

∴拋物線函數(shù)解析式為y＝（x-m）2+2m．

∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＝（2-m）2+2m＝m2-2m+4（0≤m≤2），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m2-2m+4）．

∵對(duì)于二次函數(shù)y′＝m2-2m+4＝（m-1）2+3

當(dāng)0≤m≤2時(shí)，

∴m＝1時(shí)，y′有最小值3，

當(dāng)m＝0或2時(shí)，y′的值為4，

∴點(diǎn)P移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2×（4-3）＝2，

故選：C．