Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與坐標(biāo)軸交于、、三點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）在二次函數(shù)圖象位于軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，過(guò)、作軸的垂線交軸于點(diǎn)、兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求該矩形周長(zhǎng)的最大值；

（3）在（2）中的矩形周長(zhǎng)最大時(shí)，連接，已知點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使直線把分成面積為的兩部分；若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

Answer 1

【答案】（1）；（2）20；（3）存在；點(diǎn)的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為,的坐標(biāo)為,從而求得;，所以矩形MNHG的周長(zhǎng)，即可求解；

（3）當(dāng)矩形周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，，從而求出的值，然后求出直線的解析式，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，分當(dāng)的面積是面積的時(shí)；當(dāng)的面積是面積的時(shí)兩種情況分別列出方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為

二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

解得：

二次函數(shù)的解析式為

（2）四邊形為矩形，

關(guān)于直線對(duì)稱

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為

的坐標(biāo)為

;

矩形的周長(zhǎng)

當(dāng)時(shí)，

矩形周長(zhǎng)的最大值為20.

（3）存在，理由如下：

當(dāng)矩形周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，

，對(duì)稱軸為直線

設(shè)直線的解析式為

將代入上式得：

，解得

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為

①當(dāng)的面積是面積的時(shí)，

解得：；（舍去）

②當(dāng)的面積是面積的時(shí)，

解得：；（舍去）

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或