Question

【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l過點(diǎn)M（1，0），傾斜角為 ． （Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若曲線C經(jīng)過伸縮變換 后得到曲線C′，且直線l與曲線C′交于A，B兩點(diǎn)，求|MA|+|MB|．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4，
∵直線l過點(diǎn)M（1，0），傾斜角為 ，
∴直線l的參數(shù)方程為 ，即 ，（t是參數(shù)）．
（Ⅱ）∵曲線C經(jīng)過伸縮變換 后得到曲線C′，
∴曲線C′為：（x﹣2）2+y2=4，
把直線l的參數(shù)方程 ，（t是參數(shù)）代入曲線C′：（x﹣2）2+y2=4，得：
，
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1 ， t2 ， 則t1+t2= ，t1t2=﹣3，
∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= = = ．
【解析】（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程化為ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；由直線l過點(diǎn)M（1，0），傾斜角為 ，能求出直線l的參數(shù)方程．（Ⅱ）由曲線C經(jīng)過伸縮變換 后得到曲線C′，求出曲線C′為：（x﹣2）2+y2=4，把直線l的參數(shù)方程代入曲線C′，得： ，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1 ， t2 ， 則t1+t2= ，t1t2=﹣3，由此能求出|MA|+|MB|．