Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C：，直線(xiàn)l：y=kx（k＞0），當(dāng)k=1時(shí)，拋物線(xiàn)C與直線(xiàn)l只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（1）求m的值；

（2）若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線(xiàn)l與直線(xiàn)l1：y=﹣3x+b交于點(diǎn)P，且，求b的值；

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線(xiàn)l1與y軸交于點(diǎn)Q，問(wèn)：是否在實(shí)數(shù)k使S△APQ=S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）8；（3）不存在．

【解析】

試題分析：（1）兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的方程組有一組解，即△=0，代入計(jì)算即可求出m的值；

（2）作出輔助線(xiàn)，得到△OAC∽△OPD，+=2，同理+=2，AC，BE是x2﹣（k+3）x+4=0兩根，即可；

（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．

試題解析：（1）當(dāng)k=1時(shí)，拋物線(xiàn)C與直線(xiàn)l只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴直線(xiàn)l解析式為y=x，∵，∴，∴，∴△=16﹣4m=0，∴m=4；

（2）如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，P，B作y軸的垂線(xiàn)，垂足依次為C，D，E，則△OAC∽△OPD，∴．

同理，．

∵，∴，∴，∴，即．

解方程組：，得x=，即PD=．

由方程組消去y，得．

∵AC，BE是以上一元二次方程的兩根，∴AC+BE=k+3，AC×BE=4，∴．解得b=8．

（3）不存在．理由如下：

假設(shè)存在，當(dāng)S△APQ=S△BPQ時(shí)，有AP=PB，于是PD﹣AC=PE﹣PD，即AC+BE=2PD．

由（2）可知AC+BE=k+3，PD=，∴k+3=2×，即．

解得k=1（舍去k=﹣7）．

當(dāng)k=1時(shí)，A，B兩點(diǎn)重合，△BQA不存在，∴不存在實(shí)數(shù)k使S△APQ=S△BPQ．