Question

（2012•長春一模）如圖，梯形OABC中，OA在x軸上，CB∥OA，∠OAB=90°，O為坐標原點，B（4，4），BC=2，動點Q從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段OA運動，到點A停止，過點Q作QP⊥x軸交折線O-C-B于點P，以PQ為一邊向右作正方形PQRS，設運動時間為t（秒），正方形PQRS與梯形OABC重疊面積為S（平方單位）
（1）求tan∠AOC；
（2）求S與t的函數(shù)關系式；
（3）求（2）中的S的最大值；
（4）連接AC，AC的中點為M，請直接寫出在正方形PQRS變化過程中，t為何值時，△PMS為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）過C作CD⊥x軸于D，由B的坐標得出AB的長，再由C的坐標得出OD的長，根據四邊形ABCD為矩形，得到對邊相等，即CD=AB，在直角三角形OCD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠AOC；
（2）根據Q的位置分三種情況考慮：當0≤x≤

4

3

時；當

4

3

≤x≤2時；當2≤x≤4時；討論求得S與t的函數(shù)關系式；
（3）由（2）得出的S與t的關系式，利用一次函數(shù)及二次函數(shù)的性質求出三個函數(shù)的最大值，比較后即可求出S的最大值；
（4）分三種情況考慮：PS=MS；MP=MS；PS=PM，列出方程即可得到t的值．

解答：解：（1）過C作CD⊥x軸于D，則OD=2，CD=4，
則tan∠AOC=2；

（2）當運動到R與A重合時，此時OQ=t，AQ=PQ=4-t
則tan∠AOC=

PQ

OQ

=

4-t

t

=2，
解得t=

4

3

．
當0≤x≤

4

3

時，S=PQ²=（2OQ）²=（2t）²=4t²；
當

4

3

≤x≤2時，S=PQ•AQ=2t•（4-t）=-2t²+8t；
當2≤x≤4時，S=4 AQ=4（4-t）=-4t+16；

（3）當0≤x≤

4

3

時，t=

4

3

時，t最大=

64

9

；
當

4

3

≤x≤2時，t=2，t_最大=8；
當2≤x≤4時，t=2，t_最大=8；
綜上，t=2時S最大=8．

（4）當t1=

13-2 13

9

，t2=

3

2

，t₃=2

3

-1時，△PMS為等腰三角形．

點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，銳角三角函數(shù)定義，正方形的性質，以及一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質，利用了數(shù)形結合及分類討論的數(shù)學思想，是一道較難的壓軸題．