【題目】以四邊形ABCD的邊ABAD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABFADE,連接EB、FD,交點為G

(1)當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(如圖1),EBFD的數(shù)量關(guān)系是   

(2)當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(如圖2),EBFD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請加以證明;

(3)四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中,∠EGD是否發(fā)生變化?如果改變,請說明理由;如果不變,請在圖3中求出∠EGD的度數(shù).

【答案】(1)EB=FD;(2)EB=FD,證明見解析;(3)不變,∠EGD=60°

【解析】試題分析:(1)EB=FD,利用正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法可證明△AFD≌△ABE,由全等三角形的性質(zhì)即可得到EB=FD;
(2)當(dāng)四邊形ABCD為矩形時,EBFD仍舊相等,證明的思路同(1);
(3)四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中,∠EGD不發(fā)生變化,是一定值,為60°.

試題解析:

(1)EB=FD,

理由如下:

∵四邊形ABCD為正方形,

AB=AD,

∵以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABFADE

AF=AE,FAB=EAD=60°,

∵∠FAD=BAD+FAB=90°+60°=150°,

BAE=BAD+EAD=90°+60°=150°,

∴∠FAD=BAE,

AFDABE中,

,

∴△AFD≌△ABE,

EB=FD;

(2)EB=FD

證:∵△AFB為等邊三角形

AF=AB,FAB=60°

∵△ADE為等邊三角形,

AD=AE,EAD=60°

∴∠FAB+BAD=EAD+BAD

即∠FAD=BAE

∴△FAD≌△BAE

EB=FD;

(3)解:

同(2)易證:FAD≌△BAE,

∴∠AEB=ADF

設(shè)∠AEBx°,則∠ADF也為x°

于是有∠BED為(60﹣x)°,EDF為(60+x)°,

∴∠EGD=180°﹣BEDEDF

=180°﹣(60﹣x)°﹣(60+x)°

=60°.

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