Question

【題目】如圖，已知一個直角三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E，F(xiàn)分別是AC，AB邊上點，連接EF，將紙片ACB的一角沿EF折疊．
（1）如圖①，若折疊后點A落在AB邊上的點D處，且使S四邊形ECBF=3S△AEF ， 則AE=；

（2）如圖②，若折疊后點A落在BC邊上的點M處，且使MF∥CA．求AE的長；

（3）如圖③，若折疊后點A落在BC延長線上的點N處，且使NF⊥AB．求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：設AE=x，則CE=4﹣x．

由折疊可知：AE=EM=x，AF=MF，∠AFE=∠MFE，

∵MF∥AC，

∴∠AEF=∠MFE．

∴∠AEF=∠AFE．

∴AE=AF．

∴AE=EM=MF=AF，

∴四邊形AEMF為菱形．

∴EM∥AB．∴△CME∽△CBA．

∴ = ，即 = ，解得x= ，即AE=

（3）解：設AE=y，則CE=4﹣y．

由折疊可知：AE=EN=y，AF=NF，

∵NF⊥AB，

∴∠NFB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠NFB=∠ACB．

且∠NBF=∠ABC，

∴△NBF∽ABC．

∴ = = ．即BF= NF= AF．由BF+AF=AB=5，

解得：BF= ，NF= ，

∴BN= = ，

∴CN=BN﹣BC= ﹣3= ．

在Rt△CEN中，由勾股定理得：CN2+CE2=EN2，

∴（ ）2+（4﹣y）2=y2，

解得：y= ，

即AE=

【解析】解：（1）∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

∴S△AEF≌S△DEF，

∵S四邊形ECBF=3S△EDF，

∴S△ABC=4S△AEF，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB= =5，

∵∠EAF=∠BAC，

∴△AEF∽△ABC，

∴ =（ ）2，即（ ）2= ，

∴AE= ；

所以答案是： ；

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對翻折變換（折疊問題）的理解，了解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．