Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(5，0)，(0，2)．

（1）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，連接PC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE=PC，將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PF，連接FB．若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0≤t≤6)，設(shè)△PBF的面積為S；

①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)t是多少時(shí)，△PBF的面積最大，最大面積是多少？

（3）點(diǎn)P在移動(dòng)的過(guò)程中，△PBF能否成為直角三角形？若能，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）① S△PBF=t2﹣7t+6（0≤t＜1）,S△PBF=﹣t2+7t﹣6（1＜t＜6）；②

當(dāng)t=3.5時(shí)，面積最大，且最大值為6.25;（3）能,F點(diǎn)坐標(biāo)為：（5， ）或（5，2）．

【解析】分析：（1）因?yàn)閽佄锞�過(guò)A、B、C三點(diǎn)，所以此三點(diǎn)的坐標(biāo)使拋物線的解析式成立．（2）①此題要分作兩種情況進(jìn)行討論：

一、當(dāng)P點(diǎn)位于原點(diǎn)左側(cè)，線段OA上；此時(shí)0≤t<1，可用t表示出OP、BP的長(zhǎng)，欲求△BPF的面積，關(guān)鍵要求出BP邊上的高，可過(guò)F作FD⊥x軸于D；由于∠CPF=90°，易證得△OPC∽△DFP，根據(jù)已知條件可知PF=PE=2PC，即兩個(gè)相似三角形的相似比為2，那么DF=2OP，由此可得到DF的長(zhǎng)，以BP為底，DF為高，即可求得△BPF的面積表達(dá)式，也就得到了關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式；

二、當(dāng)P點(diǎn)位于原點(diǎn)右側(cè)，線段BP上；此時(shí)1<t<6，可仿照一的方法進(jìn)行求解；

②根據(jù)①得到的S、t的函數(shù)關(guān)系式，及相應(yīng)的自變量的取值范圍，即可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得S的最大值及對(duì)應(yīng)的t值，然后進(jìn)行比較即可得到結(jié)果．

（3）當(dāng)P位于線段OA上時(shí)，顯然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF<∠CPF=90°，所以P不可能是直角頂點(diǎn)，可分兩種情況進(jìn)行討論：

①F為直角頂點(diǎn)，過(guò)F作FD⊥x軸于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t2-2t+5，那么PF==4（t-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF÷PD=t-2t+5，而PB的另一個(gè)表達(dá)式為：PB=6-t，聯(lián)立兩式可得t-2t+5=6-t，即t=；

②B為直角頂點(diǎn)，那么此時(shí)的情況與（2）題類(lèi)似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此時(shí)t=2．

本題解析：（1）（法一）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）

三點(diǎn)代入解析式得： ， 解得

∴；

（法二）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣5）（x+1），

把（0，2）代入解析式得：2=﹣5a，

∴；

∴，

即；

（2）①過(guò)點(diǎn)F作FD⊥x軸于D，

當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，BP=6﹣t，OP=1﹣t；

在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，

∴∠FPD+∠CPO=90°，

∵∠PCO=∠FPD；

∴∠POC=∠FDP，

∴△CPO∽△PFD，

∴

∴PF=PE=2PC，

∴FD=2PO=2（1﹣t）；

∴S△PBF= =t2﹣7t+6（0≤t＜1）；

當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，OP=t﹣1，BP=6﹣t；

∵△CPO∽△PFD，

∴FD=2（t﹣1）；∴S△PBF= =﹣t2+7t﹣6（1＜t＜6）；

②當(dāng)0≤t＜1時(shí)，S=t2﹣7t+6；

此時(shí)t在t=3.5的左側(cè)，S隨t的增大而減小，

則有：當(dāng)t=0時(shí)，Smax=0﹣7×0+6=6；

當(dāng)1＜t＜6時(shí)，S=﹣t2+7t﹣6；

由于1＜3.5＜6，故當(dāng)t=3.5時(shí)，Smax=﹣3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；

綜上所述，當(dāng)t=3.5時(shí)，面積最大，且最大值為6.25．

（3）能；①若F為直角頂點(diǎn)，過(guò)F作FD⊥x軸于D，

由（2）可知BP=6﹣t，DP=2OC=4，

在Rt△OCP中，OP=t﹣1，

由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5，

那么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；

在Rt△PFB中，F(xiàn)D⊥PB，

由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+，

而PB的另一個(gè)表達(dá)式為：PB=6﹣t，

聯(lián)立兩式可得t2﹣2t+5=6﹣t，

即t=，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），

則F點(diǎn)坐標(biāo)為：（5， ）；

②B為直角頂點(diǎn)，那么此時(shí)的情況與（2）題類(lèi)似，△PFB∽△CPO，且相似比為2，

那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此時(shí)t=2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，

則F點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2）．