Question

【題目】如圖1，已知點(diǎn)A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分線交AB于C，一動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度，沿y軸向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P且平行于AB的直線交x軸于Q，作P、Q關(guān)于直線OC的對稱點(diǎn)M、N．設(shè)P運(yùn)動的時(shí)間為t（0＜t＜2）秒．

（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）設(shè)△MNC與△OAB重疊部分的面積為S．
①試求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②在圖2的直角坐標(biāo)系中，畫出S關(guān)于t的函數(shù)圖象，并回答：S是否有最大值？若有，寫出S的最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如答圖1，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，CE⊥y軸于點(diǎn)E，

由題意，易知四邊形OECF為正方形，設(shè)正方形邊長為x．

∵CE∥x軸，

∴ ，即 ，解得x= ．

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；

∵PQ∥AB，

∴ ，即 ，

∴OP=2OQ．

∵P（0，2t），

∴Q（t，0）．

∵對稱軸OC為第一象限的角平分線，

∴對稱點(diǎn)坐標(biāo)為：M（2t，0），N（0，t）．

（2）

解：①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如答圖2﹣1所示，點(diǎn)M在線段OA上，重疊部分面積為S△CMN．

S△CMN=S四邊形CMON﹣S△OMN

=（S△COM+S△CON）﹣S△OMN

=（ 2t× + t× ）﹣ 2tt

=﹣t2+2t；

當(dāng)1＜t＜2時(shí)，如答圖2﹣2所示，點(diǎn)M在OA的延長線上，設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D，則重疊部分面積為S△CDN．

設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，將M（2t，0）、N（0，t）代入得 ，

解得 ，

∴y=﹣ x+t；

同理求得直線AB的解析式為：y=﹣2x+4．

聯(lián)立y=﹣ x+t與y=﹣2x+4，求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為 ．

S△CDN=S△BDN﹣S△BCN

= （4﹣t） ﹣ （4﹣t）×

= t2﹣2t+ ．

綜上所述，S= ．

②畫出函數(shù)圖象，如答圖2﹣3所示：

觀察圖象，可知當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值，最大值為1．

【解析】（1）如答圖1，作輔助線，由比例式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）①所求函數(shù)關(guān)系式為分段函數(shù)，需要分類討論．答圖2﹣1，答圖2﹣2表示出運(yùn)動過程中重疊部分（陰影）的變化，分別求解；②畫出函數(shù)圖象，由兩段拋物線構(gòu)成．觀察圖象，可知當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�