Question

【題目】若拋物線(xiàn)L：（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線(xiàn)l都經(jīng)過(guò)y軸上的一點(diǎn)P，且拋物線(xiàn)L的頂點(diǎn)Q在直線(xiàn)l上，則稱(chēng)此直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)L具有“一帶一路”關(guān)系．此時(shí)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)L的“帶線(xiàn)”，拋物線(xiàn)L叫做直線(xiàn)l的“路線(xiàn)”．

（1）若直線(xiàn)y=mx+1與拋物線(xiàn)具有“一帶一路”關(guān)系，求m，n的值；

（2）若某“路線(xiàn)”L的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，它的“帶線(xiàn)”l的解析式為y=2x﹣4，求此“路線(xiàn)”L的解析式；

（3）當(dāng)常數(shù)k滿(mǎn)足≤k≤2時(shí)，求拋物線(xiàn)L：的“帶線(xiàn)”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣1，n=1；（2）或；（3）≤S≤．

【解析】

試題分析：（1）找出直線(xiàn)y=mx+1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線(xiàn)解析式中即可求出n的值；再根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入直線(xiàn)解析式中即可得出結(jié)論；

（2）找出直線(xiàn)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，由此設(shè)出拋物線(xiàn)的解析式，再由直線(xiàn)的解析式找出直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線(xiàn)解析式中即可得出結(jié)論；

（3）由拋物線(xiàn)解析式找出拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式找出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合待定系數(shù)法即可得出與該拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的“帶線(xiàn)”l的解析式，找出該直線(xiàn)與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積找出面積S關(guān)于k的關(guān)系上，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）令直線(xiàn)y=mx+1中x=0，則y=1，即直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為（0，1）；

將（0，1）代入拋物線(xiàn)中，得n=1．

∵拋物線(xiàn)的解析式為=，∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．

將點(diǎn)（1，0）代入到直線(xiàn)y=mx+1中，得：0=m+1，解得：m=﹣1．

答：m=﹣1，n=1．

（2）將y=2x﹣4代入到中有，2x﹣4=，即，解得：，，∴該“路線(xiàn)”L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）或（3，2）．

令“帶線(xiàn)”l：y=2x﹣4中x=0，則y=﹣4，∴“路線(xiàn)”L的圖象過(guò)點(diǎn)（0，﹣4）．

設(shè)該“路線(xiàn)”L的解析式為或，由題意得：或，解得：m=2，n=，∴此“路線(xiàn)”L的解析式為或．

（3）令拋物線(xiàn)L：中x=0，則y=k，即該拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為（0，k）．

拋物線(xiàn)L：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），設(shè)“帶線(xiàn)”l的解析式為y=px+k，∵點(diǎn)（，）在y=px+k上，∴，解得：p=，∴“帶線(xiàn)”l的解析式為．

令∴“帶線(xiàn)”l：中y=0，則，解得：x=．

即“帶線(xiàn)”l與x軸的交點(diǎn)為（，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，k），∴“帶線(xiàn)”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積S=====，∵≤k≤2，∴≤≤2，∴S=，當(dāng)=1時(shí)，S有最大值，最大值為；當(dāng)=2時(shí)，S有最小值，最小值為．

故拋物線(xiàn)L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線(xiàn)”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍為≤S≤．