Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點(diǎn)F，使EF=AE，連接AF，CF，連接BE并延長交CF于點(diǎn)G．下列結(jié)論：
①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，則GF=2EG．其中正確的結(jié)論是 ． （填寫所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：①正確．∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，

∵DE=DC，

∴△DEC是等邊三角形，

∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，

∵EF=AE，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AF=AE，∠EAF=60°，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF，故①正確．

②正確．∵∠ABC=∠FDC，

∴AB∥DF，

∵∠EAF=∠ACB=60°，

∴AB∥AF，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴DF=AB=BC，故②正確．

③正確．∵△ABE≌△ACF，

∴BE=CF，S△ABE=S△AFC，

在△BCE和△FDC中，

，

∴△BCE≌△FDC，

∴S△BCE=S△FDC，

∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△DCF，故③正確．

④正確．∵△BCE≌△FDC，

∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG，

∴△BDE∽△FGE，

∴ = ，

∴ = ，

∵BD=2DC，DC=DE，

∴ =2，

∴FG=2EG．故④正確．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．