Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OEFG的頂點(diǎn)F坐標(biāo)為（4，2），OG邊與y軸重合．將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點(diǎn)A．
（1）判斷△OGA和△NPO是否相似，并說明理由；
（2）求過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式；
（3）若（2）中求出的反比例函數(shù)的圖象與EF交于B點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鳎褐本�AB與OM的位置關(guān)系，并說明理由；
（4）在GF所在直線上，是否存在一點(diǎn)Q，使△AOQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足要求的Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠P=∠AGO=90°，PN∥OM，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠PNO=∠AOG，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)相似得出比例式，求出AG長，即可得出A的坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式是y=

k

x

，把A的坐標(biāo)代入求出即可；
（3）求出B的坐標(biāo)，求出

AG

BF

=

OG

AF

，根據(jù)∠AGO=∠F=90°證△AGO∽△BFA，推出∠OAG=∠ABF，求出∠OAG+∠FAB=90°，求出∠OAB的度數(shù)，根據(jù)垂直定義推出即可．
（4）利用等腰三角形的性質(zhì)，分別利用當(dāng)AO=AQ₁=

5

時(shí)，當(dāng)AO=OQ₂=

5

時(shí)，當(dāng)AO=AQ₃=

5

時(shí)，當(dāng)AQ₄=OQ₄時(shí)，分別得出即可．

解答：（1）解：△OGA∽△NPO，
理由是：∵將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，
∴∠P=∠AGO=90°，PN∥OM，
∴∠PNO=∠AOG，
∴△OGA∽△NPO；

（2）解：∵△OGA∽△NPO，
∴

AG

OP

=

OG

NP

，
∵OP=OG=2，PN=OM=OE=4，
∴AG=1，
∴A（1，2），
設(shè)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式是y=

k

x

，代入得：k=2，
即過點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式是y=

2

x

；

（3）解：AB⊥OM，
理由是：∵把x=4代入y=

2

x

得：y=

1

2

，
即B（4，

1

2

），
∴BE=

1

2

，BF=2-

1

2

=

3

2

，
∵A（1，2），
∴AG=1，OG=2，
∴AF=4-1=3，
∴

AG

BF

=

1

3 2

=

2

3

，

OG

AF

=

2

3

，
∴

AG

BF

=

OG

AF

，
∵∠AGO=∠F=90°，
∴△AGO∽△BFA，
∴∠OAG=∠ABF，
∵∠FAB+∠ABF=180°-90°=90°，
∴∠OAG+∠FAB=90°，
∴∠OAB=180°-90°=90°，
∴AB⊥OM．

（4）如圖所示：
當(dāng)AO=AQ₁=

5

時(shí)，Q₁（1+

5

，2）；
當(dāng)AO=OQ₂=

5

時(shí)，Q ₂（-1，2），
當(dāng)AO=AQ₃=

5

時(shí)，Q ₃（1-

5

，2），
當(dāng)AQ₄=OQ₄時(shí)，Q ₄（-1.5，2）．
故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：Q （1+

5

，2）或Q（1-

5

，2）或Q（-1，2）或Q（-1.5，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．