Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP₀按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₀的2倍，得到線段OP₁；再將線段OP₁按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數(shù)）
（1）求點(diǎn)P₆的坐標(biāo)；
（2）求△P₅OP₆的面積；
（3）我們規(guī)定：把點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，…）的橫坐標(biāo)x_n、縱坐標(biāo)y_n都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)（|x_n|，|y_n|）稱之為點(diǎn)P_n的“絕對(duì)坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點(diǎn)P_n的分布規(guī)律，請(qǐng)你猜想點(diǎn)P_n的“絕對(duì)坐標(biāo)”，并寫出來(lái)．

Answer 1

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點(diǎn)P₆落在y軸的負(fù)半軸，而點(diǎn)P_n到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離始終等于前一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，故其坐標(biāo)為P₆（0，-2⁶），即P₆（0，-64）；

（2）由已知可得，△P₀OP₁∽△P₁OP₂∽△P_n-1OP_n．
設(shè)P₁（x₁，y₁），則y₁=2sin45°=

2

，
∴S△P0OP1=

1

2

×1×

2

=

2

2

，
又∵

OP6

OP1

=32，
∴

S△P5OP6

S△P0OP1

=(

32

1

)2=1024，
∴S△P5OP6=1024×

2

2

=512

2

；

（3）由題意知，OP₀旋轉(zhuǎn)8次之后回到x軸正半軸，在這8次中，點(diǎn)P_n分別落在坐標(biāo)象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點(diǎn)P_n的坐標(biāo)可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n，
①當(dāng)n=8k或n=8k+4時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在x軸上，此時(shí)，點(diǎn)P_n的絕對(duì)坐標(biāo)為（2ⁿ，0）；
②當(dāng)n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在各象限的平分線上，此時(shí)，點(diǎn)P_n的絕對(duì)坐標(biāo)為（

2

2

×2ⁿ，

2

2

×2ⁿ），即（2^n-1

2

，2^n-1

2

）；
③當(dāng)n=8k+2或n=8k+6時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)P_n落在y軸上，
此時(shí)，點(diǎn)P_n的絕對(duì)坐標(biāo)為（0，2ⁿ）．