【題目】如圖①,矩形ABCD,AB=4,BCmm>1),點EAD邊上一定點,且AE=1.

(1)當(dāng)m=3,AB上存在點F,使AEF與△BCF相似,求AF的長度.

(2)如圖②,當(dāng)m=3.5用直尺和圓規(guī)在AB上作出所有使AEF與△BCF相似的點F(不寫作法,保留作圖痕跡)

(3)對于每一個確定的m的值,AB上存在幾個點F,使得△AEF與△BCF相似?

【答案】(1)AF=13;(2)見解析;(3)當(dāng)1<m<4m3時,有3個;

當(dāng)m3時,有2個;當(dāng)m4時,有2個; 當(dāng)m>4時,有1

【解析】試題分析:

(1)由題意可知,∠A=∠B=90°,由此可知要使AEF與△BCF相似,存在兩種情況:①當(dāng)∠AEF=∠BFC,,則兩三角形相似;②當(dāng)∠AEF=∠BCF時, 則兩三角形相似;由這兩種情況分別根據(jù)已知條件進(jìn)行計算即可得到相應(yīng)的AF的值;

(2)如下圖所示:延長DAE′,使AE′=AE,連接CE′AB于點F1;②連接CE,以CE為直徑作圓,分別交AB于點F2、F3;F1、F2、F3為所求點;

(3)結(jié)合(1)(2)可知,當(dāng)m=3時,符合條件的點F2個,當(dāng)m=4,符合條件的點F也有2個,而當(dāng)1<m<4, m3,符合條件的點F3個;而當(dāng)m>4時,以CE為直徑的圓和AB相離,此時符合條件的點F只有1.

試題解析

(1)①當(dāng)∠AEF=∠BFC時,

要使△AEF△BFC,需,即

解得AF=13;

當(dāng)∠AEF=∠BCF時,

要使△AEF△BCF,需,即

解得AF=1;

綜上所述AF=13

(2)如下圖所示,圖中F1、F2、F3為所求點;

提示:延長DA,作點E關(guān)于AB的對稱點E′,連結(jié)CE′,交AB于點F1連結(jié)CE,以CE為直徑作圓交AB于點F2、F3);

(3)(2)中所作圖形,

當(dāng)m=4時,由已知條件可得DE=3,則CE=5,即圖中圓的直徑為5,由梯形中位線定理可得此時圖中所作圓的圓心到AB的距離=2.5=所作圓的半徑,F(xiàn)2F3重合,即當(dāng)m=4時,符合條件的F2個;

當(dāng)m>4時,圖中所作圓和AB相離,此時F2F3不存在了,即此時符合條件的F只有F11個;

而當(dāng)1<m<4m3時,由所作圖形可知,符合條件的F3;

綜上所述可得:①當(dāng)1<m<4m3時,符合條件的F3個;當(dāng)m3時,符合條件的F2個;當(dāng)m4時,符合條件的F2個;當(dāng)m>4時,符合條件的F1.

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