Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)E、F、G、H得到的四邊形EFGH叫做四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形．

（1）四邊形EFGH的形狀是______，證明你的結(jié)論；

（2）請你探究不同四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀：

①當(dāng)四邊形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是______；

②當(dāng)四邊形ABCD變?yōu)榫匦螘r(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是______；

③當(dāng)四邊形ABCD變?yōu)榱庑螘r(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是______；

④當(dāng)四邊形ABCD變?yōu)檎�方形時(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是______；

（3）根據(jù)以上觀察探究，請你總結(jié)中點(diǎn)四邊形的形狀是由原四邊形的什么性質(zhì)決定的？

Answer 1

【答案】（1）四邊形EFGH是平行四邊形．見解析；（2）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形．

【解析】

(1)連接BD，利用三角形中位線定理推出所得四邊形對邊平行且相等，故為平行四邊形；

(2)應(yīng)用三角形中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”，根據(jù)平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可；

(3)由以上法則可知，中點(diǎn)四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的大小關(guān)系和位置關(guān)系決定的．

(1)四邊形EFGH是平行四邊形，證明如下：

如圖1，連接BD，

∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，

∴EH是△ABD的中位線，

∴EH=BD，EH∥BD．

同理得FG=BD，FG∥BD．

∴EH=FG，EH∥FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

故答案為：平行四邊形；

(2)①同理得：當(dāng)四邊形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)，它的中點(diǎn)四邊形是：平行四邊形；

②如圖2，連接AC、BD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∵EF=AC，EH=BD，

∴EF=EH，

∴四邊形EFGH是菱形；

③∵四邊形EFGH是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠FEH=90°，

∴四邊形ABCD是矩形；

④∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，

∴四邊形EFGH是正方形．

(3)由以上法則可知，中點(diǎn)四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的大小關(guān)系和位置關(guān)系決定的．