Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y= x+b的圖象與反比例函數(shù)y= （x＜0）的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，2）和點(diǎn)B，點(diǎn)C在y軸上．

（1）當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng) x+b＜ 時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)C，此時(shí)點(diǎn)C即是所求，如圖所示．

∵反比例函數(shù)y= （x＜0）的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ （x＜0）；

∵一次函數(shù)y= x+b的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，2），

∴2=﹣ +b，解得：b= ，

∴一次函數(shù)解析式為y= x+ ．

聯(lián)立一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式成方程組： ，

解得： ，或 ，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4， ）．

∵點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2），

設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，

則有 ，解得： ，

∴直線A′B的解析式為y= x+ ．

令y= x+ 中x=0，則y= ，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0， ）

（2）

解：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)x＜﹣4或﹣1＜x＜0時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，

∴當(dāng) x+ ＜﹣ 時(shí)，x的取值范圍為x＜﹣4或﹣1＜x＜0

【解析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)C，此時(shí)點(diǎn)C即是所求．由點(diǎn)A為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法和反比例函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，設(shè)出直線A′B的解析式為y=mx+n，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線A′B的解析式，令直線A′B解析式中x為0，求出y的值，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，即可得出不等式的解集．