Question

【題目】如圖，⊙O是等邊△ACD的外接圓，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BM，延長(zhǎng)AD交BM于點(diǎn)E．

（1）求證：CD∥BM；（2）連接OE，若DE＝4，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OE＝ .

【解析】

（1）由點(diǎn)A、C、D為⊙O的三等分點(diǎn)得到AD＝DC＝AC．則△ACD為等邊三角形，再利用點(diǎn)O為△ACD的外心得到AB⊥CD．然后根據(jù)切線的性質(zhì)得BE⊥AB．所以CD∥BM；

（2）連接DB，如圖，利用△ACD為等邊三角形和圓周角定理得到∠ABD＝∠C＝60°，則∠DBE＝30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BE＝8，DB＝4．AB＝8，則OB＝4，然后利用勾股定理計(jì)算出OE．

（1）證明：∵點(diǎn)A、C、D為⊙O的三等分點(diǎn)，

∴＝＝，

∴AD＝DC＝AC．

∴△ACD為等邊三角形，

而點(diǎn)O為△ACD的外心，

∴AB⊥CD．

∵BM為⊙O的切線，

∴BE⊥AB．

∴CD∥BM；

（2）解：連接DB，如圖，

∵△ACD為等邊三角形，

∴∠C＝60°，

∴∠ABD＝∠C＝60°，

∴∠DBE＝30°，

在Rt△DBE中，BE＝2DE＝8，DB＝DE＝4．

在Rt△ADB中，AB＝2BD＝8，則OB＝4，

在Rt△OBE中，OE＝ ＝4，

故答案為：（1）見(jiàn)解析；（2）OE＝ .