Question

【題目】如圖，將邊長(zhǎng)為的正三角形紙片按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展開(kāi)后，得折痕（如圖①），點(diǎn)為其交點(diǎn).

（1）探求與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖②，若分別為上的動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求的長(zhǎng)度；

②如圖③，若點(diǎn)在線段上，，則的最小值= .

Answer 1

【答案】（1）AO=2OD，理由見(jiàn)解析；（2）①；②.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）如圖②，作點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，過(guò)D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時(shí)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值，根據(jù)線段垂直平分線的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等邊三角形，得到BN=BD=，于是得到結(jié)論；

（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，作D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據(jù)軸對(duì)稱的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）AO=2OD，

理由：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，

∴AO=OB，

∵BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠BDO=90°，

∴OB=2OD，

∴OA=2OD；

（2）如圖②，作點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，過(guò)D′作D′N⊥BC于N交BE于P，

則此時(shí)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值，

∵BE垂直平分DD′，

∴BD=BD′，

∵∠ABC=60°，

∴△BDD′是等邊三角形，

∴BN=BD=，

∵∠PBN=30°，

∴，

∴PB=；

（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，作D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，

連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，

∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，

∴∠D′BQ′=90°，

∴在Rt△D′BQ′中，

D′Q′=．

∴QN+NP+PD的最小值=，