【題目】如圖,直線y=x+4交于x軸于點A,交y軸于點C,過A、C兩點的拋物線F1交x軸于另一點B(1,0).

(1)求拋物線F1所表示的二次函數(shù)的表達式;

(2)若點M是拋物線F1位于第二象限圖象上的一點,設四邊形MAOC和BOC的面積分別為S四邊形MAOC和SBOC,記S=S四邊形MAOCSBOC,求S最大時點M的坐標及S的最大值;

(3)如圖,將拋物線F1沿y軸翻折并復制得到拋物線F2,點A、B與(2)中所求的點M的對應點分別為A、B、M,過點M作MEx軸于點E,交直線AC于點D,在x軸上是否存在點P,使得以A、D、P為頂點的三角形與ABC相似?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1y=x2x+4;2最大值為;M(,5);3(2,0)或(,0)

【解析】

試題分析:1利用一次函數(shù)的解析式求出點A、C的坐標,然后再利用B點坐標即可求出二次函數(shù)的解析式;2由于M在拋物線F1上,所以可設M(a,a2a+4),然后分別計算S四邊形MAOC和SBOC,過點M作MDx軸于點D,則S四邊形MAOC的值等于ADM的面積與梯形DOCM的面積之和;3由于沒有說明點P的具體位置,所以需要將點P的位置進行分類討論,當點P在A的右邊時,此情況是不存在;當點P在A的左邊時,此時DAP=CAB,若以A、D、P為頂點的三角形與ABC相似,則分為以下兩種情況進行討論:=;=

試題解析:解:(1)令y=0代入y=x+4

x=﹣3,

A﹣30),

x=0,代入y=x+4,

y=4

C0,4),

設拋物線F1的解析式為:y=ax+3)(x﹣1),

C04)代入上式得,a=﹣

y=﹣x2x+4,

2)如圖,設點Ma,a2a+4

其中﹣3a0

B10),C04),

OB=1OC=4

S△BOC=OBOC=2,

過點MMPx軸于點P

MP=﹣a2a+4,AP=a+3,OP=﹣a,

S四邊形MAOC=APMP+MP+OCOP

=APMP+OPMP+OPOC

=+

=+

=×3a2a+4+×4×﹣a

=﹣2a2﹣6a+6

S=S四邊形MAOC﹣S△BOC

=﹣2a2﹣6a+6﹣2

=﹣2a2﹣6a+4

=﹣2a+2+

a=﹣時,

S有最大值,最大值為

此時,M,5);

3)如圖,由題意知:M′),﹣1,0),A′3,0

AB′=2

設直線A′C的解析式為:y=kx+b,

A′30)和C0,4)代入y=kx+b

得:,

y=﹣x+4

x=代入y=﹣x+4,

y=2

由勾股定理分別可求得:AC=5DA′=

Pm,0

m3時,

此時點PA′的左邊,

∴∠DA′P=CAB′

=時,DA′P∽△CAB′,

此時,=3﹣m),

解得:m=2

P2,0

=時,DA′P∽△B′AC,

此時,=3﹣m

m=﹣,

P0

m3時,

此時,點PA′右邊,

由于CB′O≠∠DA′E

∴∠AB′C≠∠DA′P

此情況,DA′PB′AC不能相似,

綜上所述,當以A′D、P為頂點的三角形與AB′C相似時,點P的坐標為(2,0)或(0).

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簡單應用:

(1)在圖①中,若AC=,BC=,則CD=

(2)如圖③,AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙上,,若AB=13,BC=12,求CD的長.

拓展規(guī)律:

(3)如圖④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的長(用含m,n的代數(shù)式表示)

(4)如圖⑤,∠ACB=90°,AC=BC,點P為AB的中點,若點E滿足AE=AC,CE=CA,點Q為AE的中點,則線段PQ與AC的數(shù)量關系是

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