Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形CFED．設(shè)FC與AB交于點H，且A（0，4），C（6，0）（如圖1）．
（1）當(dāng)α=60°時，△CBD的形狀是______；
（2）當(dāng)AH=HC時，求直線FC的解析式；
（3）當(dāng)α=90°時，（如圖2）．請?zhí)骄浚航?jīng)過點D，且以點B為頂點的拋物線，是否經(jīng)過矩形CFED的對稱中心M，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可利用旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)線段相等得出BC=CD，∠BCD=60°，所以△CBD為等邊三角形；
（2）可利用勾股定理求出H點坐標，從而求出FC的解析式；
（3）因為已知拋物線頂點的坐標，故而設(shè)y=a（x-6）²+4，把點D坐標代入可求出a值．然后可求出函數(shù)解析式，然后再把M點坐標代入檢驗．
解答：解：（1）∵圖形旋轉(zhuǎn)后BC=CD，∠BCD=∠α=60°
∴△BCD是等邊三角形；

（2）設(shè)AH=x，則HB=AB-AH=6-x，
依題意可得：AB=OC=6，BC=OA=4，
在Rt△BHC中，HC²=BC²+HB²，
即x²-（6-x）²=16，
解得x=．
∴H（，4）．
設(shè)y=kx+b，把H（，4），C（6，0）代入y=kx+b，
得
解得
∴y=-x+．

（3）拋物線頂點為B（6，4），
設(shè)y=a（x-6）²+4，
把D（10，0）代入得：a=-．
∴y=-（x-6）²+4（或y=-x²+3x-5）．
依題可得，點M坐標為（8，3），
把x=8代入y=-（x-6）²+4，得y=3．
∴拋物線經(jīng)過矩形CFED的對稱中心M．
點評：本題為關(guān)于旋轉(zhuǎn)的綜合題．考查了等邊三角形的判定、一次函數(shù)解析式的確定、矩形的性質(zhì)等知識．