Question

已知，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD=5，AB=DC=2．
（1）P為AD上一點(diǎn)，滿足∠BPC=∠A，求證：△ABP∽△DPC；
（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足∠BPE=∠A，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么，當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP=x，CQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的自變量取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)∠BPC=∠A時(shí)，∠1+∠BPC+∠3=180°，而∠1+∠A+∠2=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時(shí)△APB∽△DCP；
（2）利用△ABP∽△DPQ，可得出

AB

AP

=

PD

DQ

，得出y與x之間的關(guān)系式．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠A=∠D，
又∵∠1+∠BPC+∠3=180°，
在△APB中，∠1+∠A+∠2=180°，
而∠BPC=∠A，
∴∠2=∠3，
∴△APB∽△DCP．

（2）解：由（1）可得出：△ABP∽△DPQ，
∴

AB

AP

=

PD

DQ

，
∴

2

x

=

5-x

y+2

，
得y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．（1＜x＜4）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及函數(shù)關(guān)系式求法，根據(jù)已知得出∠DPC=∠ABP是解題關(guān)鍵．