Question

如圖①，在矩形 ABCD中，AB=30cm，BC=60cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D路線向點(diǎn)D勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)D后停止；點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿 D→C→B→A路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后停止．若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動過程中，Q點(diǎn)停留了1s，圖②是P、Q兩點(diǎn)在折線AB-BC-CD上相距的路程S（cm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系圖象．
（1）請解釋圖中點(diǎn)H的實(shí)際意義？
（2）求P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度；
（3）將圖②補(bǔ)充完整；
（4）當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？請直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P、Q兩點(diǎn)在折線AB-BC-CD上相距的路程S（cm）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系圖象得出H點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)相遇；
（2）利用函數(shù)圖象得出當(dāng)兩點(diǎn)在F點(diǎn)到G點(diǎn)兩點(diǎn)路程隨時(shí)間變化減慢得出此時(shí)Q點(diǎn)停留，只有P點(diǎn)運(yùn)動，再利用縱坐標(biāo)的值得出P點(diǎn)和Q點(diǎn)運(yùn)動速度；
（3）根據(jù)4秒后，P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)，只有Q點(diǎn)運(yùn)動，根據(jù)運(yùn)動速度為15cm/s，還需要運(yùn)動120-45=75（cm），則運(yùn)動時(shí)間為：75÷15=5（s），進(jìn)而畫出圖象即可；
（4）根據(jù)Q，P的位置不同，進(jìn)行分類討論得出答案即可．

解答：解：（1）圖中點(diǎn)H的實(shí)際意義：P、Q兩點(diǎn)相遇；

 （2）由函數(shù)圖象得出，當(dāng)兩點(diǎn)在F點(diǎn)到G點(diǎn)兩點(diǎn)路程隨時(shí)間變化減慢得出此時(shí)Q點(diǎn)停留1秒，只有P點(diǎn)運(yùn)動，此時(shí)縱坐標(biāo)的值由75下降到45，
故P點(diǎn)運(yùn)動速度為：30cm/s，再根據(jù)E點(diǎn)到F點(diǎn)S的值由120變?yōu)?5，根據(jù)P點(diǎn)速度，得出Q點(diǎn)速度為120-75-30=15（cm/s），
即P點(diǎn)速度為30cm/s，Q點(diǎn)速度為 15cm/s；

 （3）如圖所示：根據(jù)4秒后，P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)，只有Q點(diǎn)運(yùn)動，根據(jù)運(yùn)動速度為15cm/s，
還需要運(yùn)動120-45=75（cm），則運(yùn)動時(shí)間為：75÷15=5（s），畫出圖象即可；

   
（4）如圖1所示，
當(dāng)QP=PC，此時(shí)

1

2

QC=BP，即30-30t=

1

2

（30-15t），
解得：t=

2

3

，
故當(dāng)時(shí)間t=

2

3

s時(shí)，△PCQ為等腰三角形，
如圖2所示，
當(dāng)D，P重合，QD=QC時(shí)，
Q為AB中點(diǎn)，則運(yùn)動時(shí)間為：（15+60+30）÷15+1=8（s），
故當(dāng)時(shí)間t=8s時(shí)，△PCQ為等腰三角形．
若PC=CQ
故90-30t=30-15t
解得：t=4
則4+1=5（S）
綜上所述：t=

2

3

或t=5或t=8秒時(shí)，△PCQ為等腰三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，主要運(yùn)用分類討論的思想，函數(shù)的知識和等腰三角形的知識，具有很強(qiáng)的綜合性．