Question

（2012•溧水縣二模）如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點(diǎn)P、Q分別是AB邊和CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，且保持AP=CQ．設(shè)AP=x．
（1）當(dāng)PQ∥AD時(shí)，x的值等于

4

；
（2）如圖2，線段PQ的垂直平分線EF與BC邊相交于點(diǎn)E，連接EP、EQ，設(shè)BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在問(wèn)題（2）中，設(shè)△EPQ的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x取何值時(shí)，S的值最小，最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以求出AB=CD及AB∥CD，再有AD∥PQ可以得出四邊形ADQP是平行四邊形，由其性質(zhì)就可以得出DQ=CQ，從而求出CQ的值而求出PA的值；
（2）根據(jù)中垂線的性質(zhì)可以得出EP=EQ，由勾股定理就可以表示出EP²=PB²+BE²，EQ²=EC²+CQ²，由AP=x，BE=y，就可以表示出BP=8-x，EC=6-y，從而可以得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由條件可以得出S=S_梯形BPQC-S_△BPE-S_△ECQ，再分別表示出S_△BPE和S_△ECQ及梯形的面積就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=8．∠A=∠D=∠C=∠B=90°．
∵PQ∥AD，
∴四邊形ADQP是平行四邊形，
∴AP=DQ．
∵AP=CQ，
∴DQ=CQ
∴DQ=

1

2

CD=4，
∴AP=4．

（2）如圖2，∵EF是線段PQ的垂直平分線，
∴EP=EQ，
在Rt△BPE和Rt△ECQ中，由勾股定理，得
EP²=PB²+BE²，EQ²=EC²+CQ²，
∵AP=x，BE=y，
∴BP=8-x，EC=6-y．
∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，
∴y=

4x-7

3

；

（3）由題意，得
S=S_梯形BPQC-S_△BPE-S_△ECQ．
∵S△BPE=

1

2

•BE•BP=

1

2

•

4x-7

3

•(8-x)=

-4x2+39x-56

6

，
S△ECQ=

1

2

•CE•CQ=

1

2

•(6-

4x-7

3

)•x=

-4x2+25x

6

，
∴S=S_梯形BPQC-

-4x2+39x-56

6

-

-4x2+25x

6

．
∵AP=CQ，
∴S梯形BPQC=

1

2

S矩形ABCD=24．
∴S=S梯形BPQC-S△BPE-S△ECQ=24-

-4x2+39x-56

6

-

-4x2+25x

6

，
∴S=

4x2-32x+100

3

=

4

3

(x-4)2+12，
∴當(dāng)x=4時(shí)，S有最小值12．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，中垂線的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用．解答時(shí)靈活運(yùn)用勾股定理及三角形的面積公式是解答本題的關(guān)鍵