【題目】綜合題
(1)如圖1,銳角△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD與BE交于F,連DE,求證:DFDA=DBDC;

(2)如圖2,若∠BAC=90°,AD⊥BC于D,F(xiàn)為線(xiàn)段AD上一點(diǎn),在AD延長(zhǎng)線(xiàn)上找一點(diǎn)G使AD2=DFDG,請(qǐng)畫(huà)出圖形找出點(diǎn)G并加以證明;

(3)如圖3,在(1)的條件下,若∠ABC=45°,EF=1,EC=3,直接寫(xiě)出BD長(zhǎng).

【答案】
(1)解:證明:如圖1中,

∵AD、AE是△ABC的高,

∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°,

∴∠DBF+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,

∴∠DBF=∠DAC,

∴△DBF∽△DAC,

= ,

∴DFDA=DBDC.


(2)解:如圖2中,在DC上截取DM,使得DM=DA,

連接FM、AM,作MN⊥FM交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G.則AD2=DFDG.

理由:∵∠MDF=∠MDG=∠FMG=90°,

∴∠DMF+∠DMG=90°,∠DMG+∠G=90°,

∴∠DMF=∠G,

∴△DMF∽△DGM,

=

∴DM2=DFDG,

∵AD=DM,

∴AD2=DFDG.


(3)解:如圖3中,連接FC.

∵∠ABC=45°,∠ADB=90°,

∴BD=AD,

∵∠DBF=∠CAD(已證),∠BDF=∠ADC=90°,

∴△BDF≌△ADC,

∴DF=DC,

在Rt△EFC中,F(xiàn)C= = =

∴DF=DC= ,設(shè)BD=AD=y,則AC= = ,

∵△EAF∽△DAC,

= ,

=

解得y=2 (舍棄),

∴BD=2


【解析】(1)先證明∠DBF=∠DAC,然后再證明△DBF∽△DAC,最后,依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可;
(2)在DC上截取DM,使得DM=DA,連接FM、AM,作MN⊥FM交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G.則AD2=DFDG.接下來(lái),再證明△DMF∽△DGM即可解決問(wèn)題;
(3)連接FC.依據(jù)ASA可證明△BDF≌△ADC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理可得到DF=DC,接下來(lái),依據(jù)勾股定理可求得DF、DC的長(zhǎng),設(shè)BD=AD=y,則可得到AC的長(zhǎng),最后,依據(jù)△EAF∽△DAC,可得到關(guān)于y的比例式,從而可求得y的值.
【考點(diǎn)精析】掌握相似三角形的應(yīng)用是解答本題的根本,需要知道測(cè)高:測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決;測(cè)距:測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),在線(xiàn)段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā),在線(xiàn)段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)△PBQ存在時(shí),求運(yùn)動(dòng)多少秒使△PBQ的面積最大,最大面積是多少?
(3)當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí),在BC下方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)K,使SCBK:SPBQ=5:2,求K點(diǎn)坐標(biāo).

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1)用含,的代數(shù)式表示綠化的面積是多少平方米?(結(jié)果寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式)

2)若,,求出綠化面積.

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(1)求每輛甲型客車(chē)和每輛乙型客車(chē)分別可載多少人?
(2)共需租輛客車(chē)?
(3)若每輛甲型客車(chē)和每輛乙型客車(chē)的租金分別為400元和280元,設(shè)租甲型客車(chē)x輛,總費(fèi)用為W元,請(qǐng)你給出最節(jié)省的租車(chē)方案.

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