Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx（a≠0）過點(diǎn)E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)C，D在拋物線上．設(shè)A（t，0），當(dāng)t=2時(shí)，AD=4．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時(shí)的矩形ABCD不動(dòng)，向右平移拋物線．當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線GH平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+x；（2）當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值，最大值為；（3）拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位．

【解析】（1）由點(diǎn)E的坐標(biāo)設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，4）代入計(jì)算可得；

（2）由拋物線的對(duì)稱性得BE=OA=t，據(jù)此知AB=10-2t，再由x=t時(shí)AD=-t2+t，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式列出函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式即可得；

（3）由t=2得出點(diǎn)A、B、C、D及對(duì)角線交點(diǎn)P的坐標(biāo)，由直線GH平分矩形的面積知直線GH必過點(diǎn)P，根據(jù)AB∥CD知線段OD平移后得到的線段是GH，由線段OD的中點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P知PQ是△OBD中位線，據(jù)此可得．

（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-10），

∵當(dāng)t=2時(shí)，AD=4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），

∴將點(diǎn)D坐標(biāo)代入解析式得-16a=4，

解得：a=-，

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+x；

（2）由拋物線的對(duì)稱性得BE=OA=t，

∴AB=10-2t，

當(dāng)x=t時(shí)，AD=-t2+t，

∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2（AB+AD）

=2[（10-2t）+（-t2+t）]

=-t2+t+20

=-（t-1）2+，

∵-＜0，

∴當(dāng)t=1時(shí)，矩形ABCD的周長(zhǎng)有最大值，最大值為；

（3）如圖，

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），

∴矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2），

當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4，4），此時(shí)GH不能將矩形面積平分；

當(dāng)平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6，0），此時(shí)GH也不能將矩形面積平分；

∴當(dāng)G、H中有一點(diǎn)落在線段AD或BC上時(shí)，直線GH不可能將矩形的面積平分，

當(dāng)點(diǎn)G、H分別落在線段AB、DC上時(shí)，直線GH過點(diǎn)P必平分矩形ABCD的面積，

∵AB∥CD，

∴線段OD平移后得到的線段GH，

∴線段OD的中點(diǎn)Q平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P，

在△OBD中，PQ是中位線，

∴PQ=OB=4，

所以拋物線向右平移的距離是4個(gè)單位．