Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是兩條對角線的交點，過點O作AC的垂線分別交邊AD，BC于點E，F，點M是邊AB的一個三等分點．連接MF，則△AOE與△BMF的面積比為________．

Answer 1

【答案】3∶4

【解析】

設AB=AC=m，則BM=m，

∵O是兩條對角線的交點，

∴OA=OC=AC=m，

∵∠B=30°，AB=AC，

∴∠ACB=∠B=30°，

∵EF⊥AC，

∴cos∠ACB=， 即cos30°=，

∴FC=m，

∵AE∥FC，

∴∠EAC=∠FCA，

又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴△AOE≌△COF，

∴AE=FC=m，

∴OE=AE= m，

∴S△AOE= OAOE=×m×m=，

作AN⊥BC于N，

∵AB=AC，

∴BN=CN=BC，

∵BN=AB=m，

∴BC=m，

∴BF=BC﹣FC=m﹣m=m，

作MH⊥BC于H，

∵∠B=30°，

∴MH=BM=m，

∴S△BMF=BFMH=×m×m=m2，

∴ ．