【題目】已知關于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0.

(1)求證:該方程有兩個實數(shù)根;
(2)如果拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與x軸交于A、B兩個整數(shù)點(點A在點B左側),且m為正整數(shù),求此拋物線的表達式;
(3)在(2)的條件下,拋物線y=mx2+(3m+1)x+3與y軸交于點C,點B關于y軸的對稱點為D,設此拋物線在﹣3≤x≤﹣ 之間的部分為圖象G,如果圖象G向右平移n(n>0)個單位長度后與直線CD有公共點,求n的取值范圍.

【答案】
(1)證明:由根的判別式,可得:△=(3m+1)2﹣4×m×3=(3m﹣1)2

∵(3m﹣1)2≥0,

∴△≥0,

∴原方程有兩個實數(shù)根


(2)解:令y=0,那么mx2+(3m+1)x+3=0,

解得:x1=﹣3,x2=﹣ ,

∵拋物線與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù),且m為正整數(shù),

∴m=1,

∴拋物線的解析式為:y=x2+4x+3;


(3)解:如圖,

∵當x=0時,y=3,

∴C(0,3),

∵當y=0時,x1=﹣3,x2=﹣1,

又∵點A在點B的左側,

∴A(﹣3,0),B(﹣1,0),

∵點D與點B關于y軸對稱,

∴D(1,0),

設直線CD的解析式為:y=kx+b,

,解得:

∴直線CD的表達式為:y=﹣3x+3,

又∵當x=﹣ 時,y= ,

∴點E(﹣ ),

∴平移后,點A,E的對應點分別為A′(﹣3+n,0),E′(﹣ +n, ),

當直線y=﹣3x+3經(jīng)過點A′(﹣3+n,0)時,得:﹣3(﹣3+n)+3=0,解得:n=4,

當直線y=﹣3x+3經(jīng)過點E′(﹣ +n, ),時,得:﹣3(﹣ +n)+3= ,解得:n= ,

∴n的取值范圍是 ≤n≤4.


【解析】(1)要證一元二次方程有兩個實數(shù)根,須證判別式△0;(2)先解方程,其中一根為整數(shù),m=1;(3)可用n的代數(shù)式表示出拋物線上兩點平移后的坐標,代入直線解析式,可求出范圍.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)圖象的平移(平移步驟:(1)配方 y=a(x-h)2+k,確定頂點(h,k)(2)對x軸左加右減;對y軸上加下減),還要掌握拋物線與坐標軸的交點(一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.)的相關知識才是答題的關鍵.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,二次函數(shù) 的圖像交 軸于 ,交 軸于點 ,連接直線 .

(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點 在二次函數(shù)的圖像上,圓 與直線 相切,切點為 .
①若 軸的左側,且△ ∽△ ,求點 的坐標;
②若圓 的半徑為4,求點 的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】A,B兩個口袋中,都裝有三個相同的小球,分別標有數(shù)字1,2,3,小剛、小麗兩人進行摸球游戲.游戲規(guī)則是:小剛從A袋中隨機摸一個球,同時小麗從B袋中隨機摸一個球,當兩個球上所標數(shù)字之和為奇數(shù)時小剛贏,否則小麗贏.
(1)這個游戲對雙方公平嗎?通過列表或畫樹狀圖加以說明.
(2)若公平,請你改變本題的游戲規(guī)則,使其對小麗有利;若不公平,也請你改變本的題的游戲規(guī)則,使游戲對雙方公平.(無論怎么設計,都請說明理由)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,甲、乙兩船從港口A同時出發(fā),甲船以每小時30海里的速度向北偏東35°方向航行,乙船以每小時40海里的速度向另一方向航行,1小時后,甲船到達C島,乙船達到B島,若C、B兩島相距50海里,請你求出乙船的航行方向.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限交于點A(4,3),與y軸的負半軸交于點B,且OA=OB.

(1)求函數(shù)y=kx+b和y= 的表達式;
(2)已知點C(0,5),試在該一次函數(shù)圖象上確定一點M,使得MB=MC,求此時點M的坐標.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,BD是直徑.若 ,則 等于( )

A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在方格紙內將水平向右平移4個單位得到

1)補全,利用網(wǎng)格點和直尺畫圖;

2)圖中的位置關系是: ;

3)畫出邊上的中線;

4)平移過程中,線段掃過的面積是:

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】1)如圖1,在正方形ABCD中,EAB上一點,FAD延長線上一點,且DFBE.求證:CECF;

2)如圖2,在正方形ABCD中,EAB上一點,GAD上一點,如果∠GCE45°,請你利用(1)的結論證明:GEBEGD

3)運用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識,完成下題:

如圖3,在直角梯形ABCD中,AD∥BCBCAD),∠B90°ABBC,EAB上一點,且∠DCE45°,BE4,DE="10," 求直角梯形ABCD的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,長方形OABC中,O為平面直角坐標系的原點,A點的坐標為(4,0),C點的坐標為(0,6),點B在第一象限內,點P從原點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿著OABCO的路線移動(即沿長方形移動一周).

1)寫出B點的坐標;

2)當點P移動3秒時,求三角形OAP的面積;

3)在移動過程中,當點Px軸距離為4個單位長度時,求點P移動的時間.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案