Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+5的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝的圖象交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥y軸于點(diǎn)C，且CM＝1，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D，且DN＝1．已知點(diǎn)P是x軸（除原點(diǎn)O外）上一點(diǎn)．

（1）直接寫出M、N的坐標(biāo)及k的值；

（2）將線段CP繞點(diǎn)P按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q能否在反比例函數(shù)的圖象上？如果能，求出所有的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，是否存在反比例函數(shù)圖象（第一象限的一支）上的點(diǎn)S，使得以P、S、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合題意的點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）M（1，4），N（4，1），k＝4；（2）（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）；（3）（，5）或（，3）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（2）分三種情形求解：①如圖2，點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，繞P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Q，根據(jù)△COP≌△PHQ，得CO＝PH，OP＝QH，設(shè)P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函數(shù)的關(guān)系式中可得Q的兩個(gè)坐標(biāo)；②如圖3，點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時(shí)；③如圖4，點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，繞P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Q，同理可得結(jié)論．

（3）分兩種情形分別求解即可；

解：（1）由題意M（1，4），n（4，1），

∵點(diǎn)M在y＝上，

∴k＝4；

（2）當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q能在反比例函數(shù)的圖象上；

如圖1，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，

過(guò)Q作QH⊥x軸于H，

易得：△COP≌△PHQ，

∴CO＝PH，OP＝QH，

由（2）知：反比例函數(shù)的解析式：y＝；

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，

∴M（1，4），

∴OC＝PH＝4

設(shè)P（x，0），

∴Q（x+4，x），

當(dāng)點(diǎn)Q落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，

x（x+4）＝4，

x2+4x+4＝8，

x＝﹣2±，

當(dāng)x＝﹣2±時(shí)，x+4＝2+，如圖1，Q（2+2，2+2）；

當(dāng)x＝﹣2﹣2時(shí)，x+4＝2﹣2，如圖2，Q（2﹣2，2﹣2）；

如圖3，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，設(shè)P（x，0）

過(guò)P作GH∥y軸，過(guò)C作CG⊥GH，過(guò)Q作QH⊥GH，

易得：△CPG≌△PQH，

∴PG＝QH＝4，CG＝PH＝x，

∴Q（x﹣4，﹣x），

同理得：﹣x（x﹣4）＝4，

解得：x1＝x2＝2，

∴Q（﹣2，﹣2），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．

（3）當(dāng)MN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可得點(diǎn)S的縱坐標(biāo)為5，即S（，5）；

當(dāng)MN為平行四邊形的邊時(shí)，易知點(diǎn)S的縱坐標(biāo)為3，即S（，3）；

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)S的坐標(biāo)為（，5）或（，3）．