Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，橫坐標(biāo)為a的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y1＝(x＞0)的圖象上，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.

(1)設(shè)a＝2，點(diǎn)C(4，2)在函數(shù)y1，y2的圖象上.分別求函數(shù)y1，y2的表達(dá)式.

(2)如圖，設(shè)函數(shù)y1，y2的圖象相交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3a，△ABC的面積為16，求k的值.

Answer 1

【答案】(1)y1＝，y2＝x﹣2；(2)k＝6.

【解析】

(1)將點(diǎn)C(4，2)代入y1＝，求出k的值，得到函數(shù)y1的表達(dá)式；把x＝a＝2代入y1＝，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)A和點(diǎn)A'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到點(diǎn)A'的坐標(biāo)，將點(diǎn)A'和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y2＝mx+n，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)y2的表達(dá)式；

(2)由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到點(diǎn)B(﹣a，﹣).又點(diǎn)B在y2＝mx+n的圖象上，那么點(diǎn)B(﹣a，﹣am+n).解方程即可得到結(jié)論.

解：(1)∵點(diǎn)C(4，2)在函數(shù)y1＝(x＞0)的圖象上，

∴k＝4×2＝8，

∴函數(shù)y1的表達(dá)式為y1＝.

∵點(diǎn)A在y1＝的圖象上，

∴x＝a＝2，y＝4，

∴點(diǎn)A(2，4).

∵A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2，﹣4).

∵一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A'和點(diǎn)B，

∴，

解之，得：，

∴函數(shù)y2的表達(dá)式為y2＝x﹣2；

(2)∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，

∴點(diǎn)A(a，).

∵A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣a，﹣).

∵點(diǎn)B在y2＝mx+n的圖象上，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣a，﹣am+n).

∴﹣＝﹣am+n，

a2m＝an+k①.

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3a，

∴點(diǎn)C(3a，3am+n)或(3a，)，

∴3am+n＝，即9a2m+3an＝k②

由①②得：a2m＝，an＝﹣.

過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D(a，am+n)，

∴AD＝﹣am﹣n.

∵S△ABc＝AD(xc﹣xb)＝4a(﹣am﹣n)＝16，

∴k﹣a2m﹣an＝8，

∴k﹣﹣(﹣)＝8，

∴k＝6.