Question

【題目】如圖所示，O是直線l上一點(diǎn)，在點(diǎn)O的正上方有一點(diǎn)A，滿足OA＝3，點(diǎn)A，B位于直線l的同側(cè)，且點(diǎn)B到直線l的距離為5，線段AB＝，一動(dòng)點(diǎn)C在直線l上移動(dòng)．

(1)當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)O左側(cè)時(shí)，且OC＝4，直線l上是否存在一點(diǎn)P，使得△ACP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出OP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)連結(jié)BC，在點(diǎn)C移動(dòng)的過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)C，使得AC＋BC的值最�。咳舸嬖�，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)存在，OP的長(zhǎng)為4或1或9或；（2）存在，AC＋BC的最小值為10.

【解析】

(1)存在，分三種情況分析即可： ①AP=CP, ②AP=AC, ③AC=PC;(2) 作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求解.

(1)存在．由勾股定理可求得AC＝5.當(dāng)點(diǎn)P使得△ACP為等腰三角形時(shí)，

如圖①所示，

OP1＝4，OP2＝5－4＝1，OP3＝CP3＋OC＝AC＋OC＝5＋4＝9.

在Rt△AP4O中，AP42＝OP42＋OA2，

設(shè)OP4＝x，則(4－x)2＝x2＋32，

解得x＝，∴OP4＝.

綜上所述，OP的長(zhǎng)為4或1或9或.

(2)存在．如圖②所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B與直線l相交于點(diǎn)C，

則A′B為AC＋BC的最小值．

過(guò)點(diǎn)A′作A′E∥l，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥A′E于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BE于點(diǎn)D.

在Rt△ABD中，AB＝，BD＝5－3＝2，

∴AD＝＝6.

在Rt△A′BE中，A′E＝AD＝6，BE＝5＋3＝8，

∴A′B＝＝10，

∴AC＋BC的最小值為10.