Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，PE⊥AB，PF⊥AC，CD⊥AB，垂足分別為E、D、F，求證：PE﹣PF=CD．

Answer 1

【答案】證明：過C作CG⊥PE于G， ∵PE⊥AB，CD⊥AB，CG⊥PE，
∴四邊形CDEG是矩形，
∴CD=EG，
∵PF⊥AC，
∴∠PFC=90°，
∵CG⊥PE，
∴∠PGC=90°，
∴∠PFC=∠PGC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CG⊥PE，AB⊥PE，
∴CG∥AB，
∴∠ABC=∠PCG，
又∵∠ACB=∠PCF（對頂角相等），
∴∠PCG=∠PCF，
在△PCG和△PCF中，
，
∴△PCG≌△PCF（AAS），
∴PF=PG，
∴PE﹣PG=PE﹣PF=EG=CD，
則PE﹣PF=CD．

【解析】過C作CG⊥PE于G，由三個角為直角的四邊形為矩形得到CDEG為矩形，得到CD=EG，由一對直角相等，一對對頂角相等，且AC=AC，利用AAS得到三角形PCG與三角形PCF全等，利用全等三角形邊相等得到PF=PG，由PE﹣PG=PE﹣PF=EG=CD，即可得證．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能正確解答此題．