【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點D是弧AE上一點,且∠BDE=CBE,BDAE交于點F.

(1)求證:BC是⊙O的切線;

(2)若BD平分∠ABE,求證:DE2=DF·DB;

(3)在(2)的條件下,延長ED,BA交于點P,若PA=AO,DE=2,求PD的長.

【答案】(1)證明見試題解析;(2)證明見試題解析;(3PD=4,OA=

【解析】試題分析:(1)利用圓周角定理得到∠AEB=90°,∠EAB=∠BDE,而∠BDE=∠CBE,則∠CBE+∠ABE=90°,則根據(jù)切線的判定方法可判斷BC⊙O的切線;

2)證明△DFE∽△DEB,然后利用相似比可得到結(jié)論;

3)連結(jié)DE,先證明OD∥BE,則可判斷△POD∽△PBE,然后利用相似比可得到關于PD的方程,再解方程求出PD即可.

試題解析:(1)證明:∵AB⊙O的直徑,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠ABE=90°∵∠EAB=∠BDE,∠BDE=∠CBE∴∠CBE+∠ABE=90°,即∠ABC=90°∴AB⊥BC,∴BC⊙O的切線;

2)證明:BD平分ABE,∴∠1=2,而2=AED,∴∠AED=1,∵∠FDE=EDB,∴△DFE∽△DEBDEDF=DBDE,=DFDB;

3)連結(jié)DE,如圖,OD=OB∴∠2=ODB,而1=2,∴∠ODB=1ODBE,∴△POD∽△PBE,,PA=AO,PA=AO=BO,,即PD=4

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