Question

如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（-4，-2）和B（a，4）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象回答，當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？
（3）在X軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）在反比例函數(shù)的圖象有一點(diǎn)E，在x軸有一點(diǎn)F，使A、B、E、F組成平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入即可求得a的值；
（2）根據(jù)（1）中的點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，觀察圖象，找到直線落在雙曲線上方的部分對(duì)應(yīng)的x的值即可；
（3）存在．這樣的點(diǎn)有四個(gè)，分AP=AB，BP=AB，AP=BP三種情況考慮，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或利用兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，即可求解；
（4）存在．分兩種情況進(jìn)行討論：①以AB為平行四邊形的對(duì)角線；②以AB為平行四邊形的邊．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

（k≠0）．
∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-4，-2），
∴-4=

k

-2

，解得k=8．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

8

x

．
∵B（a，4）y=

8

x

在的圖象上，
∴4=

8

a

，解得a=2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（2，4）；

（2）根據(jù)圖象得，當(dāng)x＞2或-4＜x＜0時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；

（3）存在這樣的點(diǎn)P．理由如下：
如圖1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，0）．
∵A（-4，-2），B（2，4），
∴AB=6

2

．
①當(dāng)PB=PA時(shí)，△ABP為等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，易得與P點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，則P₁（0，0）；
②當(dāng)PB=AB時(shí)，PB=

(t-2)2+42

=6

2

，解得t=2±

14

，所以P₂（2+2

14

，0），P₃（2-2

14

，0）；
③當(dāng)PA=AB時(shí)，PA=

(t+4)2+22

=6

2

，解得t=-4±2

17

，所以P₄（-4+2

17

，0），P₅（-4-2

17

，0）．
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），（-4+2

17

，0），（-4-2

17

，0），（2+2

14

，0），（2-2

14

，0）；

（4）設(shè)E（x，

8

x

），F(xiàn)（n，0）．分兩種情況：
①如圖2，當(dāng)以AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
∵A（-4，-2），B（2，4），
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）．
∵A、B、E、F組成平行四邊形，
∴AB與EF互相平分，即EF中點(diǎn)與AB中點(diǎn)重合，
∵F點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，
∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，即

8

x

=2，則x=4，E（4，2），
∴F₁（-6，0）；
②如圖3，當(dāng)以AB為平行四邊形的邊時(shí)，則AB∥EF且AB=EF，

8 x x-n = 4+2 2+4 ( 8 x )2+(x-n)2=72

，
解得

x=- 4 3 n= 14 3

或

x= 4 3 n=- 14 3

，
∴F₂（

14

3

，0），F(xiàn)₃（-

14

3

，0）．
綜上，點(diǎn)F的坐標(biāo)為F₁（-6，0），F(xiàn)₂（

14

3

，0），F(xiàn)₃（-

14

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，利用圖象判定函數(shù)的大小關(guān)系，等腰三角形的判定以及平行四邊形的判定．注意，解答（3）、（4）題時(shí)要分類討論，以防漏解．