Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)M、N分別是邊AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接MN，將△AMN沿MN所在直線翻折，翻折后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′．

（1）如圖1，若點(diǎn)A′恰好落在邊AB上，且AN＝AC，求AM的長(zhǎng)；

（2）如圖2，若點(diǎn)A′恰好落在邊BC上，且A′N∥AC．

①試判斷四邊形AMA′N的形狀并說(shuō)明理由；

②求AM、MN的長(zhǎng)；

（3）如圖3，設(shè)線段NM、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，當(dāng)且時(shí)，求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①菱形，理由見(jiàn)解析；②AM=，MN＝；（3）1．

【解析】

（1）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

（2）①根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．

②連接AA′交MN于O．設(shè)AM＝MA′＝x，由MA′∥AB，可得＝，由此構(gòu)建方程求出x，解直角三角形求出OM即可解決問(wèn)題．

（3）如圖3中，作NH⊥BC于H．想辦法求出NH，CM，利用相似三角形，確定比例關(guān)系，構(gòu)建方程解決問(wèn)題即可．

解：（1）如圖1中，

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝，

∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，

∴△ANM∽△ACB，

∴＝，

∵AN＝AC

∴＝，

∴AM＝．

（2）①如圖2中，

∵NA′∥AC，

∴∠AMN＝∠MNA′，

由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，

∴∠MNA′＝∠A′MN，

∴A′N＝A′M，

∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，

∴四邊形AMA′N是平行四邊形，

∵MA＝MA′，

∴四邊形AMA′N是菱形．

②連接AA′交MN于O．設(shè)AM＝MA′＝x，

∵MA′∥AB，

∴

∴＝，

∴＝，

解得x＝，

∴AM＝

∴CM＝，

∴CA′＝＝＝，

∴AA′＝＝＝，

∵四邊形AMA′N是菱形，

∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，

∴OM＝＝＝，

∴MN＝2OM＝．

（3）如圖3中，作NH⊥BC于H．

∵NH∥AC，

∴△ABC∽△NBH

∴＝＝

∴＝＝

∴NH＝，BH＝，

∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝，

∴AM＝AC＝，

∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，

∵CM∥NH，

∴△CPM∽△HPN

∴＝，

∴＝，

∴PC＝1．