【題目】如圖1,2,3分別以ABC的AB和AC為邊向ABC外作正三角形(等邊三角形)、正四邊形(正方形)、正五邊形,BE和CD相交于點O.

(1)在圖1中,求證:ABE≌△ADC.

(2)由(1)證得ABE≌△ADC,由此可推得在圖1中BOC=120°,請你探索在圖2中,BOC的度數(shù),并說明理由或?qū)懗鲎C明過程.

(3)填空:在上述(1)(2)的基礎上可得在圖3中BOC= (填寫度數(shù)).

(4)由此推廣到一般情形(如圖4),分別以ABC的AB和AC為邊向ABC外作正n邊形,BE和CD仍相交于點O,猜想得BOC的度數(shù)為 (用含n的式子表示).

【答案】(1)詳見解析;(2)BOC=90°,理由見解析;(3)72°;(4)BOC的度數(shù)為,理由見解析.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)等邊三角形證明AB=AD,AC=AE,再利用等式性質(zhì)得DAC=BAE,根據(jù)SAS得出ABE≌△ADC;(2)根據(jù)正方形性質(zhì)證明ABE≌△ADC,得BEA=DCA,再由正方形ACEG的內(nèi)角EAC=90°和三角形外角和定理得BOC=90°;(3)根據(jù)正五邊形的性質(zhì)證明:ADC≌△ABM,再計算五邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)為108°,由三角形外角定理求出BOC=72°;(4)根據(jù)正n邊形的性質(zhì)證明:ADC≌△ABM,再計算n邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)為180°﹣,由三角形外角定理求出BOC=

試題解析:(1)如圖1,∵△ABD和ACE是等邊三角形,

AB=AD,AC=AE,DAB=EAC=60°,

∴∠DAB+BAC=EAC+BAC,

DAC=BAE,

∴△ABE≌△ADC;

(2)如圖2,BOC=90°,理由是:

四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形,

AB=AD,AC=AE,DAB=EAC=90°,

∴∠BAE=DAC,

∴△ADC≌△ABE,

∴∠BEA=DCA,

∵∠EAC=90°,

∴∠AMC+DCA=90°,

∵∠BOC=OME+BEA=AMC+DCA,

∴∠BOC=90°;

(3)如圖3,同理得:ADC≌△ABM,

∴∠BME=DCA,

∵∠BOC=BME+OEM=DCA+AEC,

正五邊形ACIGM,

∴∠EAC=180°﹣=108°,

∴∠DCA+AEC=72°,

∴∠BOC=72°;

(4)如圖4,BOC的度數(shù)為,理由是:

同理得:ADC≌△ABM,

∴∠BME=DCA,

∵∠BOC=BME+OEM=DCA+AEC,

正n邊形AC…M,

∴∠EAC=180°﹣,

∴∠DCA+AEC=180°﹣180°﹣

∴∠BOC=

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