【題目】如圖:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,過點(diǎn)C在△ABC外作直線MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N。
(1)求證:MN=AM+BN;
(2)若過點(diǎn)C在△ABC內(nèi)作直線MN,AM⊥MN于M,BN⊥MN于N,則AM、BN與MN之間有什么關(guān)系?請說明理由。
【答案】(1)見解析;(2)MN=BN-AM
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)同角的余角相等可得∠MAC=∠NCB,又∠AMC=∠CNB=90°,AC=BC,即可證得△AMC≌△CNB,從而可得AM=CN,MC=BN,即可得到結(jié)論;
(2)類似于(1)的方法,證得△AMC≌△CNB,從而有AM=CN,MC=BN,可推出AM、BN與MN之間的數(shù)量關(guān)系.
∵∠C=90°
∴∠MCA+∠BCN=90°
∵AM⊥MN,BN⊥MN
∴∠AMC=∠CNB=90°
∴∠MAC+∠MCA=90°
∴∠MAC=∠BCN
在△AMC和△CNB中
∠MAC=∠BCN
∠AMC=∠CMB,
AC=BC
∴△AMC≌△CNB
∴AM=CN,MC=BN
∴MN=MC+CN=AM+BN
(2)(7分)答: MN=BN-AM
證明:∵∠AMC=∠BNC=90°,
∴∠ACM+∠NCB=90°,
∠NCB+∠CBN=90°,
故∠ACM=∠CBN,
在△AMC和△CNB中,
∠ACM=∠CBN
∠AMC=∠BNC=90°
AC=BC,
∴△AMC≌△CNB,
∴CM =BN,
CN=AM,
∴MN=CM-CN=BN-AM,
∴MN=BN-AM。
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解:設(shè),則,∴原方程可化為:,解得
當(dāng)y=3時,,,當(dāng)y=4時,.
∴原方程有四個根是:.
以上方法叫換元法,達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,運(yùn)用上述方法解答下列問題.
(1)解方程:;
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