【題目】已知等腰△ABC中,AB=AC,∠FDE的頂點(diǎn)D在線段BC上,不與B、C重合.
(1)如圖①,若DE∥AC,DF∥AB且點(diǎn)D在BC中點(diǎn)時,四邊形AEDF是什么四邊形并證明?
(2)將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置,若∠B=∠C=∠EDF=α,BD=m,CD=n,設(shè)△BDE的面積為S1,△CDF的面積為S2,求S1S2的值.(用含有m、n、α的代數(shù)式表示)
(3)將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置,連接EF,若∠B=∠C=∠EDF,且EF垂直平分AD,BD=m,CD=n,則的值為多少?(要有解答過程).
【答案】(1)四邊形AEDF是菱形,理由見解析;(2)S1S2=m2n2.sin2α;(3).
【解析】
(1)根據(jù)平行四邊形的定義易證四邊形AEDF是平行四邊形,根據(jù)三角形的中位線定理和AB=AC可得DE=DF,進(jìn)而可得結(jié)論;
(2)如圖②中,分別過E,F作EG⊥BC于G,FH⊥BC于H,先根據(jù)三角形的面積公式和解直角三角形的知識得出S1S2=mnBECFsin2α,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和已知條件可得∠DEB=∠FDC,進(jìn)而可證明△BDE∽△CFD,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BEFC與mn的關(guān)系,進(jìn)一步即可得出結(jié)果;
(3)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠EDF=∠BAC,進(jìn)而可推出△ABC是等邊三角形,于是AB=BC=AC=m+n,設(shè)AE=ED=x,FA=FD=y,由△BED∽△CDF可得,代入相關(guān)數(shù)據(jù)后再根據(jù)等比性質(zhì)即可求出結(jié)果.
解:(1)結(jié)論:四邊形AEDF是菱形.
理由:如圖①中,∵BD=DC,DE∥AC,DF∥AB,
∴AE=EB,AF=CF,四邊形AEDF是平行四邊形,
∴DE=AC,DF=AB,
∵AB=AC,∴DE=DF,
∴四邊形AEDF是菱形;
(2)如圖②中,分別過E,F作EG⊥BC于G,FH⊥BC于H,
則S1=BDEG=mBEsinα,S2=CDFH=nCFsinα,
∴S1S2=mnBECFsin2α,
∵∠BDE+∠DEB+∠B=180°,∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,
∵∠EDF=∠B,∴∠DEB=∠FDC,
又∵∠B=∠C,∴△BDE∽△CFD.
∴,即BEFC=BDCD=mn,
∴S1S2=m2n2sin2α;
(3)如圖③中,∵EF垂直平分線段AD,∴EA=ED,FA=FD,
∴∠EAD=∠EDA,∠FAD=∠FDA,∴∠EDF=∠BAC,
∵∠B=∠C=∠EDF,∴∠B=∠C=∠BAC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=AC=m+n,
設(shè)AE=ED=x,FA=FD=y,
∵△BED∽△CDF,∴,∴,
∴.
即.
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【題目】如圖,AB=AC,⊙O為△ABC的外接圓,AF為⊙O的直徑,四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若∠BAC=45°,AF=2,求陰影部分的面積.
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【題目】如圖,將一邊長AB為4的矩形紙片折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,折痕為EF,若EF=2,則矩形的面積為( 。
A.32B.28C.30D.36
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AC=BC,∠ACB=4∠B,點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn),DE⊥AC,交AB于點(diǎn)E,連接CE.
(1)求∠BCE的度數(shù);
(2)求證:AB=3CE.
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【題目】如圖,正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=的圖象有一個交點(diǎn)A(m,4),AB⊥y軸于點(diǎn)B,平移直線y=kx,使其經(jīng)過點(diǎn)B,得到直線l,則直線l對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是_____.
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【題目】已知,四邊形ABCD中,E是對角線AC上一點(diǎn),DE=EC,以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點(diǎn)D,點(diǎn)B在⊙O上,連接OB.
(1)求證:DE=OE;
(2)若CD∥AB,求證:BC是⊙O的切線;
(3)在(2)的條件下,求證:四邊形ABCD是菱形.
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【題目】已知拋物線.
(1)當(dāng),時,求拋物線與軸的交點(diǎn)個數(shù);
(2)當(dāng)時,判斷拋物線的頂點(diǎn)能否落在第四象限,并說明理由;
(3)當(dāng)時,過點(diǎn)的拋物線中,將其中兩條拋物線的頂點(diǎn)分別記為,,若點(diǎn),的橫坐標(biāo)分別是,,且點(diǎn)在第三象限.以線段為直徑作圓,設(shè)該圓的面積為,求的取值范圍.
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【題目】如圖,已知點(diǎn),是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn),且一次函數(shù)與軸交于點(diǎn).
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)連接,求的面積;
(3)在軸上有一點(diǎn),使得,求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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