【題目】已知等腰△ABC中,ABAC,∠FDE的頂點(diǎn)D在線段BC上,不與B、C重合.

1)如圖,若DEACDFAB且點(diǎn)DBC中點(diǎn)時,四邊形AEDF是什么四邊形并證明?

2)將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖所示位置,若∠B=∠C=∠EDFα,BDm,CDn,設(shè)△BDE的面積為S1,△CDF的面積為S2,求S1S2的值.(用含有mn、α的代數(shù)式表示)

3)將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至如圖所示位置,連接EF,若∠B=∠C=∠EDF,且EF垂直平分AD,BDm,CDn,則的值為多少?(要有解答過程).

【答案】1)四邊形AEDF是菱形,理由見解析;(2S1S2m2n2sin2α;(3

【解析】

1)根據(jù)平行四邊形的定義易證四邊形AEDF是平行四邊形,根據(jù)三角形的中位線定理和ABAC可得DEDF,進(jìn)而可得結(jié)論;

2)如圖②中,分別過E,FEGBCG,FHBCH,先根據(jù)三角形的面積公式和解直角三角形的知識得出S1S2mnBECFsin2α,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和和已知條件可得∠DEB=∠FDC,進(jìn)而可證明△BDE∽△CFD,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BEFCmn的關(guān)系,進(jìn)一步即可得出結(jié)果;

3)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠EDF=∠BAC,進(jìn)而可推出△ABC是等邊三角形,于是ABBCACm+n,設(shè)AEEDx,FAFDy,由△BED∽△CDF可得,代入相關(guān)數(shù)據(jù)后再根據(jù)等比性質(zhì)即可求出結(jié)果.

解:(1)結(jié)論:四邊形AEDF是菱形.

理由:如圖①中,∵BDDCDEAC,DFAB,

AEEB,AFCF,四邊形AEDF是平行四邊形,

DEACDFAB,

ABAC,∴DEDF,

∴四邊形AEDF是菱形;

2)如圖②中,分別過E,FEGBCGFHBCH,

S1BDEGmBEsinα,S2CDFHnCFsinα,

S1S2mnBECFsin2α,

∵∠BDE+DEB+B180°,∠BDE+EDF+FDC180°

∵∠EDF=∠B,∴∠DEB=∠FDC,

又∵∠B=∠C,∴△BDE∽△CFD

,即BEFCBDCDmn

S1S2m2n2sin2α;

3)如圖③中,∵EF垂直平分線段AD,∴EAED,FAFD,

∴∠EAD=∠EDA,∠FAD=∠FDA,∴∠EDF=∠BAC

∵∠B=∠C=∠EDF,∴∠B=∠C=∠BAC60°,

∴△ABC是等邊三角形,∴ABBCACm+n,

設(shè)AEEDx,FAFDy,

∵△BED∽△CDF,∴,∴

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(2)若CDAB,求證:BC是⊙O的切線;

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