Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）如圖1，P為線(xiàn)段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，N是線(xiàn)段EF上一動(dòng)點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若∠MNC＝90°，直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）當(dāng)a＝時(shí)，△BDC的面積最大，此時(shí)P（，）；

（3）m的取值范圍為：﹣≤m≤5．

【解析】

（1）由y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線(xiàn)的解析式；

（2）首先令﹣x2+2x+3＝0，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+b′，由待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)BC的解析式，再設(shè)P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），即可求得PD的長(zhǎng)，由S△BDC＝S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC＝﹣（a﹣）2+，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)△BDC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半列出關(guān)系式m＝（n﹣）2﹣，然后根據(jù)n的取值得到最小值．

解：（1）由題意得：，

解得：，

∴拋物線(xiàn)解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）令﹣x2+2x+3＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝3，

即B（3，0），

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+b′，

∴，

解得：，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+3，

設(shè)P（a，3﹣a），則D（a，﹣a2+2a+3），

∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，

∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB

＝PDa+PD（3﹣a）

＝PD3

＝（﹣a2+3a）

＝﹣（a﹣）2+，

∴當(dāng)a＝時(shí)，△BDC的面積最大，此時(shí)P（，）；

（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴E（1，4），

設(shè)N（1，n），則0≤n≤4，

取CM的中點(diǎn)Q（，），

∵∠MNC＝90°，

∴NQ＝CM，

∴4NQ2＝CM2，

∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，

∴4[（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，

整理得，m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣）2﹣，

∵0≤n≤4，

當(dāng)n＝上，M最小值＝﹣，n＝4時(shí)，M最小值＝5，

綜上，m的取值范圍為：﹣≤m≤5．