Question

【題目】已知△ABE中，∠BAE=90°，以AB為直徑作⊙O，與BE邊相交于點C，過點C作⊙O的切線CD，交AE于點D．
（1）求證：D是AE的中點；
（2）求證：AE2=ECEB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BAE=90°，AB為直徑，

∴AE為⊙O的切線，

又CD為⊙O的切線，

∴AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

又AB直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCE=90°，∠DAC+∠DEC=90°，

∴∠DCE=∠DEC，

∴DC=DE，

∴AD=DE，

即D是AE的中點

（2）解：∵∠BAE=90°，

∴∠BAC+∠CAE=90°，

又AB直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°，

∴∠CAE=∠ABC，

又∠E=∠E，

∴△ACE∽△BAE，

∴ = ，

∴AE2=ECEB．

【解析】（1）根據(jù)已知條件得到AE為⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD=CD，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=∠DCA，由圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DCE=∠DEC，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．