【題目】如圖1,A(﹣40).正方形OBCD的頂點Bx軸的負半軸上,點C在第二象限.現(xiàn)將正方形OBCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG

1)如圖2,若α60°,OEOA,求直線EF的函數(shù)表達式.

2)若α為銳角,tanα,當AE取得最小值時,求正方形OEFG的面積.

3)當正方形OEFG的頂點F落在y軸上時,直線AE與直線FG相交于點P,△OEP的其中兩邊之比能否為1?若能,求點P的坐標;若不能,試說明理由.

【答案】(1)yx+(2);(3) OEP的其中兩邊的比能為1,點P的坐標是:P04),P(﹣4,12),P(﹣12,24),P(﹣4,0),P(﹣12,4).

【解析】

1)過點EEHOA于點HEFy軸的交點為M,由已知條件證明△AEO為正三角形,求出點E的坐標及OM的長度,再利用EM的坐標即可求出解析式;

2)無論正方形邊長為多少,繞點O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方形OEFG的頂點E在射線OQ上,當AEOQ時,線段AE的長最小利用α為銳角,tanα及勾股定理求出邊長OE2,即可求出正方形的面積;

3)分點Fy軸的正半軸上或負半軸上,且點P與點F或點A重合或不重合時,利用△OEP的兩邊之比為1分別求出點P的坐標.

1)如圖1,過點EEHOA于點H,EFy軸的交點為M

OEOA,α60°,

∴△AEO為正三角形,

OH2,EH2,故點E(﹣2,2),

EOM30°,OM,

EF的函數(shù)表達式為:ykx+,

將點E的坐標代入上式并解得:k,

故直線EF的表達式為:yx+;

2)射線OQOA的夾角為αα為銳角,tanα).

無論正方形邊長為多少,繞點O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方形OEFG的頂點E在射線OQ上,

∴當AEOQ時,線段AE的長最。

RtAOE中,設AEa,則OE3a

a2+3a242,解得:a2,

OE3a,

正方形OEFG的面積=(3a2;

3)設正方形邊長為m

當點F落在y軸正半軸時.

如圖3

PF重合時,△PEO是等腰直角三角形,有

RtAOP中,∠APO45°,OPOA4,

∴點P1的坐標為(0,4).

在圖3的基礎上,

當減小正方形邊長時,

P在邊FG 上,△OEP的其中兩邊之比不可能為1;

當增加正方形邊長時,存在(圖4)和(圖5)兩種情況.

如圖4,

EFP是等腰直角三角形,

,

,

此時有APOF

RtAOE中,∠AOE45°,

OEOA4,

PEOE8,PAPE+AE12,

∴點P的坐標為(﹣412).

如圖5,

PPRx軸于點R,延長PGx軸于點H.設PFn

RtPOG中,PO2PG2+OG2m2+m+n22m2+2mn+n2,

RtPEF中,PE2PF2+EF2m2+n2,

時,

PO22PE2

2m2+2mn+n22m2+n2),得n2m

EOPH,

∴△AOE∽△AHP

,

AH4OA16,

m6

在等腰RtPRH中,PRHRPH24,

ORRHOH12

∴點P的坐標為(﹣12,24).

當點F落在y軸負半軸時,

如圖6,

PA重合時,在RtPOG中,OPOG,

又∵正方形OGFE中,OGOE,

OPOE

∴點P的坐標為(﹣40).

在圖6的基礎上,當正方形邊長減小時,△OEP的其中

兩邊之比不可能為1;當正方形邊長增加時,存在(圖7)這一種情況.

如圖7,過PPRx軸于點R,

PGn

RtOPG中,PO2PG2+OG2n2+m2

RtPEF中,PE2PF2+FE2=(m+n 2+m22m2+2mn+n2

時,

PE22PO2

2m2+2mn+n22n2+2m2

n2m,

由于NGOGm,則PNNGm,

OEPN,

∴△AOE∽△ANP,

,

ANOA4

在等腰RtONG中,ONm,

8m,

m4

在等腰RtPRN中,RNPR4,

∴點P的坐標為(﹣12,4).

所以,△OEP的其中兩邊的比能為1,

P的坐標是:P0,4),P(﹣412),P(﹣12,24),P(﹣4,0),P(﹣12,4).

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