【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于線段MN的“三等分變換”,給出如下定義:如圖1,點P,Q為線段MN的三等分點,即MP=PQ=QN,將線段PM以點P為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PM′,將線段QN以點Q為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90°得到QN′,則稱線段MN進行了三等分變換,其中M′,N′記為點M,N三等分變換后的對應(yīng)點.
例如:如圖2,線段MN,點M的坐標(biāo)為(1,5),點N的坐標(biāo)為(1,2),則點P的坐標(biāo)為(1,4),點Q的坐標(biāo)為(1,3),那么線段MN三等分變換后,可得:M′的坐標(biāo)為(2,4),點N′的坐標(biāo)為(0,3).
(1)若點P的坐標(biāo)為(2,0),點Q的坐標(biāo)為(4,0),直接寫出點M′與點N′的坐標(biāo);
(2)若點Q的坐標(biāo)是(0,﹣),點P在x軸正半軸上,點N′在第二象限.當(dāng)線段PQ的長度為符合條件的最小整數(shù)時,求OP的長;
(3)若點Q的坐標(biāo)為(0,0),點M′的坐標(biāo)為(﹣3,﹣3),直接寫出點P與點N的坐標(biāo);
(4)點P是以原點O為圓心,1為半徑的圓上的一個定點,點P的坐標(biāo)為(,)當(dāng)點N′在圓O內(nèi)部或圓上時,求線段PQ的取值范圍及PQ取最大值時點M′的坐標(biāo).
【答案】(1)M(2,2),N′(4,﹣2);(2);(3)P(0,﹣3),N(0,3);(4)(,)
【解析】
(1)根據(jù)“三等分變換”的定義,可知M(2,2),N′(4,﹣2);(2)若點Q的坐標(biāo)是(0,﹣),點P在x軸正半軸上,點N′在第二象限.當(dāng)線段PQ的長度為符合條件的最小整數(shù)時,求OP的長;
(3)若點Q的坐標(biāo)為(0,0),點M′的坐標(biāo)為(﹣3,﹣3),直接寫出點P與點N的坐標(biāo);(4)如圖3中,過點P作PA⊥x軸于點A.在Rt△OAP中,由勾股定理,OP=,在△PQN′中,∠PQN′=90°,PQ=QN′,推出點N′在⊙O內(nèi)部或在⊙O上運動,當(dāng)PN′為⊙O直徑時,PN′最大,推出∠QPN′=45°推出PQ=PN′=,推出PQ的取值范圍:0<PQ≤,由P(,﹣),由對稱性可知N′(﹣,),再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點M′坐標(biāo)即可.
解:(1)∵PQ=2,根據(jù)“三等分變換”的定義,可知M(2,2),N′(4,﹣2).
(2)①當(dāng)PQ=1時,OQ=
在RT△OPQ中,如圖1中,
∴OP=OQ
∴∠OQP=∠OPQ=45°
∵∠PQN′=90°PQ=Q N′
∴點N’在x軸負(fù)半軸上,不在第二象限
∴PQ=1不符合題意.
②當(dāng)PQ=2時
OP=,
此時,點N′在第二象限符合題意.
(3)如圖2中,由圖象可知,P(0,﹣3),N(0,3).
(4)如圖3中,過點P作PA⊥x軸于點A.
在Rt△OAP中,由勾股定理,OP=,
在△PQN′中,∠PQN′=90°,PQ=QN'
點N'在⊙O內(nèi)部或在⊙O上運動,當(dāng)PN′為⊙O直徑時,PN′最大
∠QPN′=45°
∴PQ=PN′=,
∴PQ的取值范圍:0<PQ≤,
∵P(,﹣)
由對稱性可知N′(﹣,)
過點N′作N′E⊥x軸于點E,過點Q作QF⊥x軸于點F
易證△ON′E≌△QOF,
∴OF=EN′=,FQ=OE=
∴Q(﹣,﹣)
∵∠N′QP=∠QP M′=90°
∴N′Q∥PM′,
又∵N′Q=PM′,
∴四邊形PN′QM′是平行四邊形,對角線的交點為J,設(shè)M′(m,n)
則J(,﹣),
則有,,
解得,,
∴點M′的坐標(biāo)為(,).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)科所在相同條件下做某作物種子發(fā)芽率的實驗,結(jié)果如表所示:
種子個數(shù) | 200 | 300 | 500 | 700 | 800 | 900 | 1000 |
發(fā)芽種子個數(shù) | 187 | 282 | 435 | 624 | 718 | 814 | 901 |
發(fā)芽種子頻率 | 0.935 | 0.940 | 0.870 | 0.891 | 0.898 | 0.904 | 0.901 |
下面有四個推斷:①種子個數(shù)是700時,發(fā)芽種子的個數(shù)是624.所以種子發(fā)芽的概率是0.891;②隨著參加實驗的種子數(shù)量的增加,發(fā)芽種子的頻率在0.9附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性.可以估計種子發(fā)芽的概率約為0.9(精確到0.1);③實驗的種子個數(shù)最多的那次實驗得到的發(fā)芽種子的頻率一定是種子發(fā)芽的概率;④若用頻率估計種子發(fā)芽的概率約為0.9,則可以估計種子大約有的種子不能發(fā)芽.其中合理的是( )
A.①②B.③④C.②③D.②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=12,點E為BC的中點,以CD為直徑作半圓CFD,點F為半圓的中點,連接AF,EF,圖中陰影部分的面積是( 。
A. 18+36π B. 24+18π C. 18+18π D. 12+18π
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對角線長分別為6和8的菱形ABCD如圖所示,點O為對角線的交點,過點O折疊菱形,使B的對應(yīng)點為B',C的對應(yīng)點為C',MN是折痕若B'M=1,則CN的長為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校需要購買A、B兩種品牌的籃球,購買A種品牌的籃球30個,B種品牌的籃球20個,共花費5400元,已知購買一個B種品牌的籃球比購買一個A鐘品牌的籃球多花20元.
(1)求購買一個A種品牌、一個B種品牌的籃球各需多少元?
(2)學(xué)校為了響應(yīng)習(xí)“籃球進校園”的號召,決定再次購進A、B兩種品牌球共45個,正好是上商場對商品的促銷活動,A品牌籃球售價比第一次購買時降低19元,B品牌籃球按第一次購買時售價的9折出售,如果學(xué)校此次購買A、B兩種品牌籃球的總費用不超過第一次花費的80%,且保證這次購買的B種品牌籃球不少于15個,則這次學(xué)校有幾種購買方案?
(3)學(xué)校在第二次購買活動中至少需要多少資金?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)的圖象與直線y=2x+1交于點A(1,m).
(1)求k、m的值;
(2)已知點P(n,0)(n≥1),過點P作平行于y軸的直線,交直線y=2x+1于點B,交函數(shù)的圖象于點C.橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.
①當(dāng)n=3時,求線段AB上的整點個數(shù);
②若的圖象在點A、C之間的部分與線段AB、BC所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)恰有5個整點,直接寫出n的取值范圍.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,有下列6個結(jié)論:
①abc<0;
②b<a﹣c;
③4a+2b+c>0;
④2c<3b;
⑤a+b<m(am+b),(m≠1的實數(shù))
⑥2a+b+c>0,其中正確的結(jié)論的有_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形中,點為邊的中點,點在上,,過點作交于點.下列結(jié)論:①;②;③;④.正確的是( ).
A.①②B.①③C.①③④D.③④
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