Question

【題目】已知一個三角形紙片ABC，面積為25，BC的長為10，∠B、∠C都為銳角，M為AB邊上的一動點（M與A、B不重合），過點M作MN∥BC交AC于點N，設MN=x．
（1）用x表示△AMN的面積；
（2）△AMN沿MN折疊，使△AMN緊貼四邊形BCNM（邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi)），設點A落在平面BCNM內(nèi)的點A′，△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y．
①用含x的代數(shù)式表示y，并寫出x的取值范圍．
②當x為何值時，重疊部分的面積y最大，最大為多少？

Answer 1

【答案】（1）S△AMN= ；（2）①-x2+10x-25（5＜x＜10），②當x=時，y最大，最大值為y最大=．

【解析】

（1）本題需先根據(jù)已知條件求出△AMN∽△ABC，再根據(jù)面積比等于相似比的平方的性質即可求出△AMN的面積．
（2）本題需先根據(jù)已知條件分兩種情況進行討論，當點A′落在四邊形BCMN內(nèi)或BC邊上時和當點A′在四邊形BCMN外時進行討論，第一種情況很容易求出，第二種情況進行畫圖，連接AA′與MN交于點G與BC交于點F，再根據(jù)面積比等于相似比的平方的性質求出即可．再根據(jù)求出的式子，即可求出重疊部分的面積y的最大值來．

（1）∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴S△AMN= ；
（2）①當點A′落在四邊形BCMN內(nèi)或BC邊上時，0＜x≤5，

△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為就是△A′MN的面積，
則此時y=S△A′MN=S△AMN=x2（0＜x≤5）
當點A′落在四邊形BCMN外時，5＜x＜10，
△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積就是梯形MNED的面積，
連接AA′，與MN交于點G，與BC交于點F，
∵MN∥BC，
∴，
∴ ，

∴AG＝x，
∴AA′=2AG=x，
∴A′F=x-5，
∴，
∴，
∴S△A′DE=x2-10x+25，
∴此時y=x2-（x2-10x+25），
=-x2+10x-25（5＜x＜10），
②由①知：y=-x2+10x25，
∵a=-＜0，
∴該函數(shù)圖象開口向下，當x=- ，
y取得最大值，ymax＝ ．