Question

【題目】如圖，正方形中，點(diǎn)、、分別足、，的中點(diǎn)，、交于，連接、.下列論：①；②；③；④.其中正確的有( )

A.個B.個C.個D.個

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接AH，由四邊形ABCD是正方形與點(diǎn)E、F、H分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，易證得△BCE≌△CDF與△ADH≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，易證得CE⊥DF與AH⊥DF，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可證得AG=AD，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得HG=AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得∠CHG=∠DAG．則問題得解．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，

∵點(diǎn)E、F、H分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，

∴BE=CF，

在△BCE與△CDF中，

∴△BCE≌△CDF（SAS），

∴∠ECB=∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠CDF=90°，

∴∠CGD=90°，

∴CE⊥DF，故①正確；

在Rt△CGD中，H是CD邊的中點(diǎn)，

∴HG=CD=AD，故④錯誤；

連接AH，如圖：

同理可證得：AH⊥DF，

∵HG=HD=CD，

∴DK=GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD，GH=DH，故②正確；

∴∠DAG=2∠DAH，

在△ADH與△CDF中，，

∴△ADH≌△DCF，

∴∠DAH=∠CDF，

∵GH=DH，

∴∠HDG=∠HGD，

∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，

又∵AH垂直平分DG，

∴∠DAH=∠GAH，∠DAG=2∠DAH，

∴∠CHG=∠DAG．故③正確；

故選：C．