【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A,它的對稱軸x=2與x軸交于點C,直線y=﹣2x﹣1經(jīng)過拋物線上一點B(﹣2,m),且與y軸、直線x=2分別交于點D、E.

(1)求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)判斷直線BE與拋物線交點的個數(shù);
(3)求證:CD垂直平分BE;
(4)若P是該拋物線上的一個動點,是否存在這樣的點P,使得△PBE是等腰直角三角形,且∠PEB=90°?若存在,試求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵點B(﹣2,m)在直線上y=﹣2x﹣1上,

∴m=﹣2×(﹣2)﹣1=3,

∴B(﹣2,3).

∵拋物線經(jīng)過原點O和點A,對稱軸為x=2,

∴點A的坐標為(4,0).

設(shè)所求的拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=ax(x﹣4),

將點B(﹣2,3)代入上式,

3=﹣2a×(﹣2﹣4),解得:a= ,

∴所求的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y= x(x﹣4)= x2﹣x


(2)

解:將y=﹣2x﹣1代入y= x2﹣x,得: x2﹣x=﹣2x﹣1,

整理得:x2+4x+4=0,

∴△=42﹣4×1×4=0,

∴直線BE與拋物線只有一個交點


(3)

解:證明:當x=2時,y=﹣2x﹣1=﹣5,

∴E(2,﹣5).

∵C(2,0),B(﹣2,3),

∴CE=0﹣(﹣5)=5,CB= =5,

∴CE=CB.

∵D(0,﹣1),B(﹣2,3),E(2,﹣5),

∴BD= =2 ,DE= =2

∴BD=DE,

∴CD垂直平分BE


(4)

解:不存在,理由如下:

過點E作ME⊥BE交x軸于點M,過點B作BN⊥直線x=2于點N,如圖所示.

∵B(﹣2,3),E(2,﹣5),

∴BN=2﹣(﹣2)=4,EN=3﹣(﹣5)=8,CE=0﹣(﹣5)=5.

∵∠BEN+∠EBN=90°,∠BEN+∠MEC=90°,

∴∠EBN=∠MEC,

∴△EBN∽△MEC,

,

∴MC=10,

∴M(12,0).

設(shè)直線EM的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),

將E(2,﹣5)、M(12,0)代入y=kx+b,

,解得: ,

∴直線EM的函數(shù)關(guān)系式為y= x﹣6.

將y= x﹣6代入y= x2﹣x,得: x2﹣x= x﹣6,

整理得:x2﹣6x+24=0,

∴△=(﹣6)2﹣4×1×24=﹣60<0,

∴直線EM與拋物線無交點,

∴不存在滿足條件的點P.


【解析】(1)根據(jù)點B的橫坐標利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點B的坐標,根據(jù)點O的坐標結(jié)合拋物線的對稱軸即可找出點A的坐標,設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax(x﹣4),代入點B的坐標求出a值即可;(2)將直線BE的函數(shù)關(guān)系式代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式中可得出關(guān)于x的一元二次方程,由根的判別式△=0,即可得出直線BE與拋物線只有一個交點;(3)根據(jù)點E的橫坐標利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點E的坐標,結(jié)合點B、C的坐標利用兩點間的距離公式,即可得出CE=CB,再根據(jù)點B、D、E的坐標利用兩點間的距離公式,即可得出BD=DE,根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證出CD垂直平分BE;(4)過點E作ME⊥BE交x軸于點M,過點B作BN⊥直線x=2于點N,則△EBN∽△MEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可找出點M的坐標,由點E、M的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線EM的函數(shù)關(guān)系式,將其代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式中可得出關(guān)于x的一元二次方程,由根的判別式△=﹣60<0,即可得出直線EM與拋物線無交點,由此得出不存在滿足條件的點P.
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.

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1)一個角的平分線   這個角的巧分線;(填不是

2)如圖2,若∠MPN=α,且射線PQ是∠MPN巧分線,則∠MPQ=   ;(用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果)

【深入研究】:如圖2,若∠MPN=60°,且射線PQ繞點PPN位置開始,以每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn),當PQPN180°時停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)的時間為t秒.

3)當t為何值時,射線PM是∠QPN巧分線

4)若射線PM同時繞點P以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn),并與PQ同時停止,請直接寫出當射線PQ是∠MPN巧分線t的值.

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∴∠l+2=(ABC+ACB)= (180-A)= 90-A

∴∠BOC=180-(1+2) =180-(90-A)=90+A

(1)探究2;如圖2中,OABC與外角ACD的平分線BOCO的交點,試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?請說明理由.

(2)探究3:如圖3中, O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BOCO的交點,則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?(直接寫出結(jié)論)

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組別

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A

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