【題目】如圖,線段AB=5,AD=4,∠A=90°,DP∥AB,點(diǎn)C為射線DP上一點(diǎn),BE平分∠ABC交線段AD于點(diǎn)E(不與端點(diǎn)A、D重合).

(1)當(dāng)∠ABC為銳角,且tan∠ABC=2時(shí),求四邊形ABCD的面積;

(2)當(dāng)△ABE△BCE相似時(shí),求線段CD的長(zhǎng);

(3)設(shè)CD=x,DE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域.

【答案】(1)16(2)當(dāng)ABE∽△EBC時(shí),線段CD的長(zhǎng)為2或(3)(0<x<4.1)

【解析】試題分析:(1) 過(guò)CCHABH,由∠A=90°,DPAB,可得得四邊形ADCH為矩形,BCH,CH=AD=4,BHC=90°,tanCBH=2,HB=CH÷2=2, 所以CD=AH=5-2=3,

則四邊形ABCD的面積=,

(2) BE平分∠ABC,得∠ABE=EBC,當(dāng)ABE∽△EBC時(shí),

BCE=BAE=90°,BE=BE,BEC≌△BEA,BC=BA=5,BCH,BH=,所以CD=AH=5-3=2.

BEC=BAE=90°,延長(zhǎng)CEBA延長(zhǎng)線于T,由∠ABE=EBC,

BEC=BET=90°,BE=BE,BEC≌△BET,BC=BT,CE=TE,CDAT,AT=CD.CD=x,則在BCH,BC=BT=5+x,BH=5-x,BHC=90°,

所以,,解得,

(3) 延長(zhǎng)BECD延長(zhǎng)線于M,因?yàn)?/span>ABCD,所以∠M=ABE=CBM,所以CM=CB,

BCH,由勾股定理可得: ,

DM=CM-CD= ,又因?yàn)?/span>DMAB,可得,,

即可得到: .

試題解析:1)過(guò)CCHABH,

由∠A=90°,DPAB,得四邊形ADCH為矩形,

BCH,CH=AD=4,BHC=90°,tanCBH=2,HB=CH÷2=2,

所以CD=AH=5-2=3,

則四邊形ABCD的面積=,

2)由BE平分∠ABC,得∠ABE=EBC,

當(dāng)ABE∽△EBC時(shí),

BCE=BAE=90°,BE=BE,BEC≌△BEA,BC=BA=5,

于是在BCH,BH=,

所以CD=AH=5-3=2.

BEC=BAE=90°,延長(zhǎng)CEBA延長(zhǎng)線于T,

由∠ABE=EBC,BEC=BET=90°,BE=BE,BEC≌△BET,BC=BT,

CE=TE,CDAT,AT=CD.

CD=x,則在BCH,BC=BT=5+x,BH=5-x,BHC=90°,

所以,,解得,

綜上,當(dāng)ABE∽△EBC時(shí),線段CD的長(zhǎng)為2.

3)延長(zhǎng)BECD延長(zhǎng)線于M,

ABCD,得∠M=ABE=CBM,所以CM=CB,

BCH, ,

DM=CM-CD= ,

DMAB,,,

解得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖(1),AB4,AC⊥ABBD⊥AB,ACBD3.點(diǎn) P 在線段 AB 上以 1的速度由點(diǎn) A 向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn) Q 在線段 BD 上由點(diǎn) B 向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng).它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 s).

1)若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度相等,當(dāng)1 時(shí),△ACP △BPQ 是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理由, 并判斷此時(shí)線段 PC 和線段 PQ 的位置關(guān)系;

2)如圖(2),將圖(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”為改“∠CAB∠DBA60°”,其他條件不變設(shè)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為,是否存在實(shí)數(shù),使得△ACP △BPQ 全等?若存在,求出相應(yīng)的、的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖Rt△ABC,C90°,矩形DEFG的頂點(diǎn)G、F分別在ACBC,DEAB

1求證ADG∽△FEB

2AG5,AD4,BE的長(zhǎng)

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【題目】在△ABC中,∠B+∠ACB=30°,AB=4,△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合,且點(diǎn)C恰好成為AD中點(diǎn),如圖

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心,并求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

(2)求出∠BAE的度數(shù)和AE的長(zhǎng).

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【題目】如圖,ABCD是一張邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片,EF分別為AB,CD的中點(diǎn),沿過(guò)點(diǎn)D的折痕將A角翻折,使得點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A′處折痕交AE于點(diǎn)G,則∠ADG=____°EG=___cm

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【題目】如圖,已知∠1+∠2﹦180°,∠3﹦∠B,則DEBC,下面是王華同學(xué)的推導(dǎo)過(guò)程﹐請(qǐng)你幫他在括號(hào)內(nèi)填上推導(dǎo)依據(jù)或內(nèi)容.

證明:

∵∠1+∠2﹦180(已知),

∠1﹦∠4 _________________,

∴∠2﹢_____﹦180°.

EHAB___________________________________

∴∠B﹦∠EHC________________________________

∵∠3﹦∠B(已知)

∴ ∠3﹦∠EHC____________________

DEBC__________________________________

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【題目】如圖,下列4個(gè)三角形中,均有AB=AC,則經(jīng)過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的是( 。

A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④

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【題目】在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題:今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)徑幾何?用現(xiàn)代語(yǔ)言表述為:如圖,AB為⊙O的直徑,弦CDAB于點(diǎn)E,AE = 1寸,CD = 10寸,求直徑AB的長(zhǎng).請(qǐng)你解答這個(gè)問(wèn)題.

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當(dāng)⊙的半徑為2時(shí):

(1)若點(diǎn), ,則_________, _________;

(2)若在直線上存在點(diǎn),使得,求出點(diǎn)的橫坐標(biāo);

(3)直線軸, 軸分別交于點(diǎn), .若線段上存在點(diǎn),使得,請(qǐng)你直接寫出的取值范圍.

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