Question

【題目】已知：關(guān)于x的方程

（1）求證：m取任何值時(shí)，方程總有實(shí)根．

（2）若二次函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

a、求二次函數(shù)的解析式

b、已知一次函數(shù)，證明：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于同一x值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立.

(3)在（2）的條件下，若二次函數(shù)的象經(jīng)過(guò)（-5,0），且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立，求二次函數(shù)的解析式.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）a、y1=x2-1；b、證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）首先此題的方程并沒(méi)有明確是一次方程還是二次方程，所以要分類(lèi)討論：

①m=0，此時(shí)方程為一元一次方程，經(jīng)計(jì)算可知一定有實(shí)數(shù)根；

②m≠0，此時(shí)方程為二元一次方程，可表示出方程的根的判別式，然后結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．

（2）①由于拋物線的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么拋物線的一次項(xiàng)系數(shù)必為0，可據(jù)此求出m的值，從而確定函數(shù)的解析式；

②此題可用作差法求解，令y1-y2，然后綜合運(yùn)用完全平方式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．

（3）根據(jù)②的結(jié)論，易知y1、y2的交點(diǎn)為（1，0），由于y1≥y3≥y2成立，即三個(gè)函數(shù)都交于（1，0），結(jié)合點(diǎn)（-5，0）的坐標(biāo)，可用a表示出y3的函數(shù)解析式；已知y3≥y2，可用作差法求解，令y=y3-y2，可得到y(tǒng)的表達(dá)式，由于y3≥y2，所以y≥0，可據(jù)此求出a的值，即可得到拋物線的解析式．

解：（1）分兩種情況：

當(dāng)m=0時(shí)，原方程可化為3x-3=0，即x=1； ∴m=0時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)根；

當(dāng)m≠0時(shí)，原方程為關(guān)于x的一元二次方程，

∵△=[-3（m-1）]2-4m（2m-3）=m2-6m+9=（m-3）2≥0，

∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

綜上可知：m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）①∵關(guān)于x的二次函數(shù)y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

∴3（m-1）=0，即m=1；

∴拋物線的解析式為：y1=x2-1；

②∵y1-y2=x2-1-（2x-2）=（x-1）2≥0，

∴y1≥y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立）；

（3）由②知，當(dāng)x=1時(shí)，y1=y2=0，即y1、y2的圖象都經(jīng)過(guò)（1，0）；

∵對(duì)應(yīng)x的同一個(gè)值，y1≥y3≥y2成立，

∴y3=ax2+bx+c的圖象必經(jīng)過(guò)（1，0），

又∵y3=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)（-5，0），

∴y3=a（x-1）（x+5）=ax2+4ax-5a；

設(shè)y=y3-y2=ax2+4ax-5a-（2x-2）=ax2+（4a-2）x+（2-5a）；

對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1≥y3≥y2成立，

∴y3-y2≥0，

∴y=ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0；

根據(jù)y1、y2的圖象知：a＞0，

∴y最小=≥0

∴（4a-2）2-4a（2-5a）≤0， ∴（3a-1）2≤0，

而（3a-1）2≥0，只有3a-1=0，解得a= ，

∴拋物線的解析式為：