【題目】已知拋物線y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1與x軸交于A、B兩點,若m>1,且點A在點B的左側(cè),OA:OB=1:3
(1)試確定拋物線的解析式;
(2)直線y=kx﹣3與拋物線交于M、N兩點,若△AMN的內(nèi)心在x軸上,求k的值.
(3)設(2)中拋物線與y軸的交點為C,過點C作直線l∥x軸,將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折,拋物線的其余部分保持不變,得到一個新圖象,請你結(jié)合新圖象回答:當直線y=x+b與新圖象只有一個公共點P(x0,y0)且y0≤7時,求b的取值范圍.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1.
(2)k=﹣3或;
(3)當﹣1<b≤7或b<﹣時直線y=x+b與新圖象只有一個公共點.
【解析】試題分析:(1)設A(﹣a,0),B(3a,0),根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得解方程組即可解決問題.
(2)設M(m,km﹣3),N(n,kn﹣3),顯然m、n是方程:x2﹣(k+)x+2=0的兩根,得到m+n=3k+2,mn=6,再根據(jù)直線AM,直線AN兩直線與x軸夾角相等,
即tan∠MAB=tan∠NAB,列出方程,整體代入即可求出k的值.
(3)直線y=x+b與新圖象只有一個公共點P(x0,y0)且y0≤7,所以b0≤7,又當直線y=x+b經(jīng)過點C(0,﹣1)時,b=﹣1,所以當﹣1<b≤7時,直線y=x+b與新圖象只有一個公共點,由消去y得x2﹣3x﹣3﹣3b=0,當直線y=x+b與新圖象只有一個公共點時,方程只有相等的實數(shù)根,根據(jù)△=0,列出方程求出b,由此即可解決問題.
試題解析:(1)∵OA:OB=1:3,
∴可以假設A(﹣a,0),B(3a,0),
則有消去a得到3m2﹣16m+16=0,解得m=或4(不合題意舍棄),
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1.
(2)設M(m,km﹣3),N(n,kn﹣3),
∵點M、N在拋物線上,則M(m,m2﹣m﹣1),N(n,n2﹣n﹣1),
∴km﹣3=m2﹣m﹣1,kn﹣3=n2﹣n﹣1,
顯然m、n是方程:x2﹣(k+)x+2=0的兩根,
則m+n=3k+2,mn=6,
∵△CMN的內(nèi)心在y軸上,A(﹣1,0),B(3,0),
∴直線AM,直線AN兩直線與x軸夾角相等,
∴tan∠MAB=tan∠NAB
∴,
整理得到,2kmn+K(m+n)﹣3(m+n)﹣6=0,
∴12k+k(3k+2)﹣3(3k+2)=0,
解得k=﹣3或.
(3)∵直線y=x+b與新圖象只有一個公共點P(x0,y0)且y0≤7,
∴b0≤7,
當直線y=x+b經(jīng)過點C(0,﹣1)時,b=﹣1,
∴當﹣1<b≤7時,直線y=x+b與新圖象只有一個公共點,
由消去y得x2﹣3x﹣3﹣3b=0,
當直線y=x+b與新圖象只有一個公共點時,方程只有相等的實數(shù)根,△=0,
∴9+12+12b=0,
∴b=﹣.
∴當b<﹣時,當直線y=x+b與新圖象只有一個公共點,
綜上所述,當﹣1<b≤7或b<﹣時直線y=x+b與新圖象只有一個公共點.
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【題目】如圖,BD是△ABC的角平分線,它的垂直平分線分別交AB,BD,BC于點E,F(xiàn),G,連接ED,DG.
(1)請判斷四邊形EBGD的形狀,并說明理由;
(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,點H是BD上的一個動點,求HG+HC的最小值.
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點的坐標;如果不存在,請說明理由;
(3)點E時線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時,△CBF的面積最大?求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標.
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【題目】某同學近5個月的手機數(shù)據(jù)流量如下:60,68,70,66,80(單位:MB),這組數(shù)據(jù)的極差是 MB.
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【題目】2019年11月9日是第29個“消防宣傳日”.某校舉行“安全小能手”消防安全知識競賽,有50位同學參加比賽,比賽結(jié)束后根據(jù)每個學生的最后得分計算出平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差,如果去掉一個最高分和一個最低分,則一定不發(fā)生變化的是( ).
A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差
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【題目】“※”定義新運算:對于有理數(shù)a、b都有:a※b=ab-(a+b),那么5※3=__________;當m為有理數(shù)時,3※(m※2)=____________。
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【題目】下面關(guān)于x的方程中:①ax2+bx+c=0;②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1;③x+3=;④(a2+a+1)x2﹣a=0;(5)=x﹣1,一元二次方程的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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