【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),矩形OABC的位置如圖所示,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,8).點(diǎn)P是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將△OAP沿AP翻折得到△O′AP,直線BC與直線O′P交于點(diǎn)E,與直線OA'交于點(diǎn)F.
(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸,且∠OAP=30°時(shí),求點(diǎn)O′的坐標(biāo);
(2)當(dāng)O′落在直線BC上時(shí),求直線O′A的解析式;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在矩形OABC邊OC的運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻,使得線段CF與線段OP的長度相等?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(5,5).(2)直線O′A的解析式為y=x﹣.(3)當(dāng)點(diǎn)P在矩形OABC邊OC的運(yùn)動(dòng)過程中,存在某一時(shí)刻,使得線段CF與線段OP的長度相等,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,)或(0,).
【解析】
試題分析:(1)連接O′O,作O′G⊥OA于點(diǎn)G,根據(jù)AO=AO′,∠O′AO=2∠OPA=60°,即可得出△O′AO是等邊三角形,再結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)O′的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線O′A的解析式為y=kx+b,根據(jù)勾股定理可得出BO′的長度,再根據(jù)O′在線段BC上和O′在CB延長線上分兩種情況考慮,由此即可得出點(diǎn)O′的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)AO′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出直線O′A的解析式;
(3)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)P(0,m),根據(jù)點(diǎn)O′在直線BC的上下兩側(cè)來分類討論.根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等的角從而得出兩三角形相似,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或等角的三角函數(shù)值相等)找出邊與邊之間的關(guān)系,由此即可列出關(guān)于m的方程,解方程即可得出結(jié)論.
解:(1)連接O′O,作O′G⊥OA于點(diǎn)G,如圖1所示.
∠O′AO=2∠OPA=60°,AO=AO′,
∴△O′AO是等邊三角形,
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),
∴OA=10,OG=OA=5,O′G=OA=5,
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(5,5).
(2)設(shè)直線O′A的解析式為y=kx+b.
在Rt△ABO′中,AO′=10,AB=8,
∴BO′═6,
①當(dāng)O′在線段BC上時(shí),CO′=10﹣6=4,
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(4,8),
則有,解得:,
∴此時(shí)直線O′A的解析式為y=﹣x+;
②當(dāng)O′在CB延長線上時(shí),CO′=10+6=16,
∴點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(16,8),
則有,解得:
∴此時(shí)直線O′A的解析式為y=x﹣.
(3)假設(shè)存在,由點(diǎn)O′的位置不同分兩種情況:
①當(dāng)點(diǎn)O′在BC的上方時(shí),設(shè)點(diǎn)P(0,m),過點(diǎn)O′作O′G⊥OA于點(diǎn)G,過點(diǎn)P作PQ⊥O′G于點(diǎn)Q,如圖2所示.
∵OP=CF,
∴BF=BC﹣CF=10﹣m,
∵點(diǎn)C(0,8),
∴AB=OC=8.
在Rt△ABF中,AB=8,BF=10﹣m,
∴AF==.
∵O′G⊥x軸,AB⊥OA,
∴O′G∥AB,
∴△O′GA∽△ABF,
∴,
∴O′G=,AG=,
∴O′Q=O′G﹣OP=﹣m,PQ=OA﹣AG=10﹣.
∵∠PO′Q+∠O′PQ=90°,∠PO′Q+∠AO′G=90°,
∴∠O′PQ=∠AO′G=∠FAB,
∴,
∴PQ==10﹣,
解得:m1=,m2=10,
經(jīng)檢驗(yàn)m1=是分式方程的解,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,);
②當(dāng)點(diǎn)O′在BC的下方時(shí),設(shè)AF與y軸的交點(diǎn)為M,如圖3所示.
設(shè)點(diǎn)P(0,m),則CF=OP=m,
BF=10+m,AB=8,OA=10,AF==.
∵BC∥AO,
∴∠AFB=∠MAO,
∴,
∴OM=,
∴PM=OM﹣OP=﹣m,
∵∠MPO′與∠AMO互余,
∴∠MPO′=∠AFB,
∴,即,
解得:m3=,m4=﹣10(舍去),
經(jīng)檢驗(yàn)m3=是分式方程的解,
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,).
綜上可知:當(dāng)點(diǎn)P在矩形OABC邊OC的運(yùn)動(dòng)過程中,存在某一時(shí)刻,使得線段CF與線段OP的長度相等,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,)或(0,).
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(2)若點(diǎn)P在x軸上,且△AOP的面積是△AOB的面積的,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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A.M<N
B.M>N
C.M=N
D.不能確定
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請(qǐng)你根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖,回答下列問題:
(1)在這7天中,日溫差最大的一天是6月_____日;
(2)求這7天的日最高氣溫的平均數(shù);
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(1)如果b=﹣2,求k的值;
(2)試探究k與b的數(shù)量關(guān)系,并直接寫出直線OD的解析式.
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